《 线性代数A 》试题（A 卷）
试卷类别：闭卷 考试时间：120分钟
考试科目：线性代数 考试时间： 学号： 姓名： 题号 得分 阅卷人 一．单项选择题（每小题3分，共30分） 一 二 三 四 五 六 七 总 分 1．设A经过初等行变换变为B，则（ ）.(下面的r(A),r(B)分别表示矩阵A,B的秩)。 (A)r(A)?r(B)； (B)r(A)?r(B)； 无法判定r(A)与r(B)之间的关系。 (C) r(A)?r(B)； (D)2．设A为n (n?2)阶方阵且|A|?0，则（ ）。 (A)A中有一行元素全为零； (B)A中必有一行为其余行的线性组合； (D)A有两行（列）元素对应成比例； A的任一行为其余行的线性组合。 (C)3. 设A,B是n阶矩阵(n?2), AB?O,则下列结论一定正确的是: ( ) (A) A?O或B?O; (B)B的每个行向量都是齐次线性方程组AX=O 的解. (C)BA?O; (D)R(A)?R(B)?n. 4．下列不是n维向量组?1,?2,...,?s线性无关的充分必要条件是（ ） (A)存在一组不全为零的数k1,k2,...,ks使得k1?1?k2?2?...?ks?s?O； 第 1 页 共 6 页
(B)不存在一组不全为零的数k1,k2,...,ks使得k1?1?k2?2?...?ks?s?O (C)?1,?2,...,?s的秩等于s； (D)?1,?2,...,?s中任意一个向量都不能用其余向量线性表示 ?1aa...a???a1a...a??5．设n阶矩阵(n?3)A??.....?，若矩阵A的秩为n?1，则a必为（ ）。 ??.....???aaa...1???11(A)1； (B)； (C)?1； (D). 1?nn?1a16．四阶行列式0a2b300b2a30b10的值等于（ ）。 0a400b4(A)(C)a1a2a3a4?bbbb； (B)1234(a1a2?bb)(a3a4?b3b4)； (D)12a1a2a3a4?bbbb； 1234(a2a3?b2b3)(a1a4?bb). 14*7．设A为四阶矩阵且A?b，则A的伴随矩阵A的行列式为（ ）。 (A)b； (B)b2； (C)b3； (D)?1b4 8．设A为n阶矩阵满足A2?3A?In?O，In为n阶单位矩阵,则A?（ ） (A) In； (B)A?3In； (C)?A?3In； (D) 3A?In 9．设A，B是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是（ ）。 (A)(C)A与B的秩相同； (B)A与B的特征矩阵相同； (D)A与B的特征值相同； A与B的行列式相同； 第 2 页 共 6 页
10．设A为n阶矩阵,则A以0为特征值是A?0的（ ）。 (A)(C)充分非必要条件； (B)既非充分又非必要条件； (D)必要非充分条件； 充分必要条件； 二．填空题（每小题3分，共18分） 001．计算行列式040043043243?21。 ?100??123??100???????2. 0?10456001?_______________________。 ????????001????789????010??3．二次型f(x1,x2,x3)?x1x2?x2x3?x3x1对应的对称矩阵为 。 4．已知?1?(0,0,1)，?2?(22,22,0)，?3?(22,?22,0)是欧氏空间3的一组标准正交基，则向量??(1,1,1)在这组基下的坐标为 。 4?1??7??7?1?的特征值为?1?3(二重),?2?12,则x?___________。 5．已知矩阵A??4??4?4x???6．设?1,?2,?3均为3维列向量，记矩阵A???1,?2,?3?，B?(?1??2??3,?1?2?2?4?3 ,?1?3?2?9?3)。如果|A|?1，则|B|? 。 ?23?1??21???,B???10?,0三．(8分) A?12????????103???31?? AX?B, 求X。 第 3 页 共 6 页
四．（10分）设向量组?1?(1,1,2,3)T，?2?(1,?1,1,1)T，?3?(1,3,3,5)T，?4?(4,?2,5,6)T， ?5?(?3,?1,?5,?7)T。试求它的秩及一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示。 ?x1?x2?px3?五．（12分）讨论线性方程组?x1?px2?x3?px?x?x?123 ??2??1解的情况，并在有无穷多解时求其解。 1 第 4 页 共 6 页
?124???六．（14分）设A??2?22?，（1）、求出A的所有特征值和特征向量；（2）、求正交矩阵T，?421???使得TAT为对角矩阵。 七．（8分）对任意的矩阵A,证明： (1) ?1A?AT为对称矩阵, A?AT为反对称矩阵； (2) A可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和。 《线性代数A》参考答案（A卷）
一、单项选择题（每小题3分，共30分）
1 B 2 C 3 D 4 A 5 B 6 D 7 C 8 C 9 C 10 D 二、填空题（每小题3分，共18分）
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