32??01?12?1??01、 256； 2、 ??4?6?5?； 3、?2?798??1?1???224、 1,2,0； 5、 4； 6、 2 。
???12?； 0??12?1?1三． 解：因为矩阵A的行列式不为零,则A可逆,因此X?AB.为了求AB,可利用下列初等行变换的方法：
?23??12??10??1?????0?0??121??12??0?10?????23??10331???0?272??1???1?141?????0?001103???0?10??12???121?????0?1?02331???00278??1???10144?????0?001103???0?10???141?321??00278??10?14?4?01103??
―――――（6分）
?278????1所以X?AB???14?4?.―――――（8分）
?103???四．解：对向量组?1,?2,?3,?4,?5作如下的初等行变换可得：
?11?1?1?(?1,?2,?3,?4,?5)??21??31??1?0???0??0?从而
143?23556?3??1114?3?????1??0?22?62? ??5??0?11?31????0?22?62???7????1?2??3?1?――――（5分） ?00?00??111?100004?3??102??3?1??01?1???00000???00???000的一个极大线性无关组为?1,?2，故秩?1,?2,?3,?4,?{?1,?2,?3,?4,?5}＝2（8分）
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且?3?2?1??2，?4??1?3?2，?5??2?1??2――――（10分） 五．解：对方程组的增广矩阵进行如下初等行变换：
?1??1?p?p?2?1p?2??1?1????11?????0p?11?p3?????0?01?p1?p21?2p??011?????p1?2??1??????0p?11?p3??????(4分)?00?(2?p)(p?1)4?2p???1p1p1p?11?p02?p?p2?2??3?4?2p??
(1) 当p?1?0,且?(2?p)(p?1)?0时,即p?1,且p??2时,系数矩阵
与增广矩阵的秩均为3,此时方程组有唯一解.――――（5分） (2) 当p?1时,系数矩阵的秩为1,增广矩阵的秩为2,此时方程组无
解.――――（6分）
(3) 当p??2时,此时方程组有无穷多组解. 方程组的增广矩阵进行初等行变换可化为
?11??1?2??21??1?????0?0??2?2??11?2?2??11?2?2??????11?????0?333?????01?1?1??03?3?3??0000?11??????
0?1?1??1?1?1?????（8分）000??故原方程组与下列方程组同解:
?x3??1?x1 ??x2?x3??1令x3?0,可得上述非齐次线性方程组的一个特解?0?(?1,?1,0);
T它对应的齐次线性方程组??x1?x3?0?x2?x3?0的基础解系含有一个元素,令
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x3?1,可得
?1?(1,1,1)T为该齐次线性方程组的一个解,它构成该齐次线性方程组的基
础解系.
此时原方程组的通解为k0?0?k1?1,这里k0,k1为任意常数.――――（12分） 六
．
解
：（
1
）
由
于
A的特征
多
项式
??1|?I?A|??2?4?2?4?2?(??3)2(??6)
??2?2??1故A的特征值为?1??3（二重特征值），?3?6。――――（3分）
??4?2?4??x1??0???????当?1??3时，由(?1I?A)X?O，即：?2?1?2x2?0得?????????4?2?4????x3????0??基础解系为?1?[?1,2,0]T,?2?[?1,0,1]T，故属于特征值?1??3的所有特征向量为k1?1?k2?2,k1,k2 不全为零的任意常数。――――（6分）
?5?2?4??x1??0????x???0?得基
8?2当?3?6时，由(?3I?A)X?O，即：?2???2????5???4?2???x3????0??础解系为?3?[2,1,2]T，故属于特征值 ?2?6的所有特征向量为k3?3,k3 为非零的任意常数。
------(8分) (2)
将
?1,?2正交化可得：
?1??1?[?1,2,0]T,。 其
?2??2???2,?1?42?1?[?,?,1]T??1,?1?55得
：
再将单位化
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?1?525??1????,,0?,?1?55?TT?2?45255??2????,?,?
?2?15153?T?212?将?3单位化得：?3?,,?。――――（12分） ??333?则
?1,?2,?3是A的一组单位正交的特征向量，令
23??55?4155?25T???1,?2,?3???5?2155?503????13? 2?3????3???。――――（14分） ?1?3则T是一个正交矩阵，且TAT????6???七．证明：(1) 因为(A?A对称矩阵。
――――（2分） 同理,因为
TT(A?A)T?AT?(AT)T?AT?A??(A?A)此,因
TT)?AT?(AT)T?A?AT, 因此A?AT为
A?AT为反对称矩阵。――――（4分）
(2) 因为A?11(A?AT)?(A?AT),――――（6分） 2211TT(A?A)而由(1) 知为对称矩阵, (A?A)为反对称矩阵,因此任何22矩阵A 都可以表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和。――――（8
分）
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