2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）
数学（文科）试题参考答案及评分标准
说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几
种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答
未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．
题号 答案 1 D 2 D 3 C 4 B 5 C 6 B 7 A 8 C 9 B 10 A
二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满
分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题仅填对1个，则给3分．
11．0 12．?0,1? 13．35，10 14．62 15．2
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）
（本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力） （
1
）
解
：
???f???9?
?????tan????????????????????????????????1分
?34?
???tan34????????????????????????????3分 ???1?tantan34tan?3?1??2?3．??????????????????????1?3
?????4分 （2
）解法1：因为
3????????f????tan???????????????????????????5分
44??34???tan????????????????????????
?????6分
?tan??2．???????????????????
?????7分
所以
sin??2，即sin??2cos?． ① cos?22因为sin??cos??1， ②
由①、②解得
cos2??所
1．??????????????????????????????9分 5以
cos2??2cos2??1?????????????????????????????
?11分
13?2??1??．??????????????????????
55?????12分
解
法
2
：
因
为
3????????f????tan???????????????????????????5分
44??34???tan????????????????????????
?????6分
?tan??2．???????????????????
?????7分
所
以
cos2??cos2??sin2?????????????????????????????
?9分
cos2??sin2??????????????????????????????10分 22cos??sin?
1?tan2????????????????????????????????11分 1?tan2?
?
1?43??．?????????????????????????????12分 1?4517．（本小题满分12分）
（本小题主要考查频率、频数、统计和概率等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）
（1）解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1，
所
以
10?(0.005?0.01?0.02?a?0.025?0.01)?1．??????????????????1分
得
a?0.03．???????????????????????????????????2分
（2）解：根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为1?10?(0.005?0.01)解
?0.85．????3分
由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为640?0.85?544人． ?????????????????????????5分
（3）解：成绩在?40,50?分数段内的人数为40?0.05?2人，分别记为A，
B．????????6分
成绩在?90,100?分数段内的人数为40?0.1?4人，分别记为C，D，E，
F．???????7分
若从数学成绩在?40,50?与?90,100?两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件有：?A,B?，?A,C?，?A,D?，?A,E?，?A,F?，?B,C?，?B,D?，
?B,E?，?B,F?，?C,D?，?C,E?，?C,F?，?D,E?，?D,F?，?E,F? 共
种．????????????????9分
15
如果两名学生的数学成绩都在?40,50?分数段内或都在?90,100?分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在?40,50?分数段内，另一个成绩在?90,100?分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10． 记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，则事件M包含的基本事件有：
?????????A,B?，?C,D?，?C,E?，?C,F?，?D,E?，?D,F?，?E,F?共7种．
11分
所
以所求概率为
P?M??
7．????????????????????????????12分 1518．（本小题满分14分）
（本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）
?（1）证明：因为平面PAC?平面ABC，平面PAC?平面A， PD?平面
PAC，PD?AC，
所以PD?平面
ABC．???????????????????????????????2分
记AC边上的中点为E，在△ABC中，因为A?， 所以BE?AC．
因为A?所
?6，AC?4，
以
BB??4分
所
2?6?以
2E．????????????????????△
?2ABC的面积
1S?ABC??AC?BE?22．????????????????????5分
2因为PD?2，
1P?ABCVP????所以三棱锥的体积
3?1??23??3．????????7分
为直角三角形．
24（2）证法1：因为PD?AC，所以△P因为PD?2，CD?3，
所以PP．??????9分
?22中，
C?2连接BD，在Rt△Bo因为?BED?90，BE?2，DE?1，
所以B?2?2?2A ．????10分
EDB
DC ?2由（1）知PD?平面ABC，又BD?平面ABC， 所以PD?BD．
o在Rt△PBD中，因为?PDB?90，PD?2，BD?3，
所以
PB?PD?BD?2?12分
222?3?2?7．????????????????????
在?PBC中，因为BC?6，PB?所
7，PC?13，
以
BC2?PB2?PC2．??????????????????????????????
13分
?PBC所以为直角三
形．?????????????????????????????14分
角
证法2：连接BD，在Rt△BDE中，因为?BED?90o，BE?2，DE?1， 所以BD?BE?DE?22?2?2?12?3．????8分
P在△BCD中，CD?3，BC?6，BD?3，
222所以BC?BD?CD，所以BC?BD．??????10分
由（1）知PD?平面ABC， 因为BC?平面ABC， 所以BC?PD． 因为BD?PD?D，
所
AE
DB
C
BC?以平面
PBD．???????????????????????????????12分
因为PB?平面PBD，所以BC?PB．
?PBC所以为直角三角
形．?????????????????????????????14分 19．（本小题满分14分）
（本小题主要考查等差数列、等比数列、裂项求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识） （1）解：因为数列?an?是等差数列，
所
以
an?a1??n?1?d，
n?n?1?Sn?na1?d．????????????????????1分
2依
题
意
，
有
??S5?70,?2??a7?a2a22.即