??5a1?10d?70,???????????????3分 ?2???a1?6d???a1?d??a1?21d?.解
得
a1?6，
d?4．????????????????????????????????5分
所
以
数
列
?an?的通项公式为
an?4n?2（n?N*）．???????????????????6分 （
2
）
证
明
：
由
（
1
）
可
得
Sn?2n2?4n．??????????????????????????7分
所
以
111?2?Sn2n?4n2n?n?2?1?11?????．???????????????????8分 4?nn?2?所以Tn?
11111???L?? S1S2S3Sn?1Sn1?1?1?11?1?11?1?11?1?11???1????????????????????4?3?4?24?4?35?4?n?1n?1?4?nn?2??????9分 ?
1?111?1????? 4?2n?1n?2?31?11??????．???????????????????????????1084?n?1n?2?分
因
为
31?11?Tn???????084?n?1n?2?，所以
Tn?3．??????????????????11分 8因为Tn?1?Tn?1?11?????0，所以数列
4?n?1n?3??Tn?是递增数
列．????????????12分
所以
Tn?T1?13分 所
1．?????????????????????????????????6以
13?Tn?．??????????????????????????????????6814分
20．（本小题满分14分）
（本小题主要考查函数的性质、导数、函数零点、不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力） （
1
）
解
：
因
为
f(x)??x3?ax2?b，所以
2a??f?(x)??3x2?2ax??3x?x??．????????1分
3??当
a?0时，
f?(x)?0，函数
f(x)没有单调递增区
间；?????????????????2分
当a?0时，令f?(x)?0，得0?x?故
2a． 3调
递
增
区
间
为
f(x)的单
?2??0,a?；?????????????????????????3分 ?3?当a?0时，令f?(x)?0，得故
2a?x?0． 3调
递
增
区
间
为
f(x)的单
?2?a,0??．?????????????????????????4分 3??综上所述，当a?0时，函数f(x)没有单调递增区间；
当a?0时，函数f(x)的单调递增区间为?0,当
??2?a?； 3?a?0时，函数
f(x)的单调递增区间为
?2??a,0?．??????????????5分 ?3?
（2）解：，由（1）知，a??3,4?时，f(x)的单调递增区间为?0,??2?a?，单调递减区间为3????,0?和??2?a,???． ?3??????????
????6分
所
以
函
数
f(x)在
x?0处取得极小值
f?0??b，????????????????????7分
函
数
3f(x)在
x?2a3处取得极大值
?2a?4af????b．??????????????????8分 ?3?27由于对任意a??3,4?，函数f(x)在R上都有三个零点，
所以
?f???f??0??0,?2a????0.?3?即
?b?0,?3??????????????????????????10分 ?4a?b?0.??27解
得
4a3??b?0．????????????????????????????????2711分
因
为
对
任
意
a??3,4?，
4a3b??27恒成立，所以
?4a3?4?33b?????4．??????13分 ???27?27?max所
以
实
数
b的取值范围是
??4,0?．??????????????????????????14分
21．（本小题满分14分）
（本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） （
1
）
解
：
依
题
意
可
得
A(?1,0)，
B(1,0)．?????????????????????????1分
y2设双曲线C的方程为x?2?1?b?0?，
b21?b2因为双曲线的离心率为5，所以?5，即b?2．
1所
2以双曲线
C的方程为
y2x??1．??????????????????????????3分
4（2）证法1：设点P(x1,y1)、T(x2,y2)（xi?0，yi?0，i?1,2），直线AP的斜率为
k（k?0），
则
直
线
AP的方程为
y?k(x?1)，???????????????????????????4分
联
立
方
程
组
?y?k?x?1?,???????????????????????????????5分 ?2y2?1.?x??42222整理，得4?kx?2kx?k?4?0，
??解得
x??1或
4?k2x?4?k2．所以
4?k2x2?．??????????????????????6分
4?k2同
理
可
得
，
4?k2x1?．???????????????????????????????7分 24?k所
以
x1?x2?1．??????????????????????????????????
?8分
证法2：设点P(x1,y1)、T(x2,y2)（xi?0，yi?0，i?1,2）， 则
kAP?y1x1?1，
kAT?y2．????????????????????????????4分 x2?1为
因
kAP?kATy22，所以
y1y?2x1?1x2?1，即
y12?x1?1?2??x2?1?2．??????????????5分
y12y222?1，x2??1． 因为点P和点T分别在双曲线和椭圆上，所以x?4421即
y12?4?x12?1?，
y22?4?1?x22?．?????????????????????????6分
所
以
4?x12?1??x1?1?2?4?1?x22??x2?1?2，即
x1?11?x2．????????????????????7分 ?x1?1x2?1所
以
x1?x2?1．??????????????????????????????????
?8分
证
法
3
：
设
点
P(x1,y1)，直线
AP的方程为
y?y1(x?1)，???????????????4分 x1?1联
立
方
程
组
y1?y??x?1?,?x1?1?????????????????????????????5分 ?2?x2?y?1.??4222222?4(x?1)?yx?2yx?y?4(x?1)?0， 整理，得?11111??