2tan?1?tan2?(1)sin2??，cos2?? 21?tan2?1?tan?1?cos2?1?cos2?，cos2?? 223sin??sin3?3cos??cos3?33(3)sin??。cos??
44(2)sin2??(4)sin??2sin?cos??1?cos2?1?cos2?；cos??(?)2222※重要范例 1.设
?2????，sin??2，则(1) sin2? ? 。 (2) cos2? ? 。 5【解答】(1) ?
43 (2) 55【详解】
?2????，sin ? ?
25 ? cos? ?
?15
(1) sin 2? ? 2sin ? cos? ? 2．
25．(
?15) ? ?
4 5(2) cos2? ? 1 ? 2sin2? ? 1 ? 2．(
25)2 ? ?
3 5
3?1???2?，sin? ? cos? ?，则(1) sin2? ? 。 (2) sin? ? cos? ? 。
52247【解答】(1) ? (2) ?
5251【详解】(1) sin? ? cos? ?
51124? sin2? ? 2sin? cos? ? cos2? ? ? 1 ? sin2? ? ? sin2? ? ?
25252524497(2) (sin? ? cos?)2 ? sin2? ? 2sin? cos? ? cos2? ? 1 ? (?) ?? sin? ? cos? ? ?
525253?7∵ ? ? ? 2? ∴ sin? ? cos? 故sin? ? cos? ? ?
52
13.设sin? ? cos? ?，0 ? ? ? ?，则(1) sin2? ? 。 (2) cos? ? 。
5243【解答】(1) ? (2) ?
25511【详解】(1)由sin? ? cos? ? ? sin2? ? 2sin? cos? ? cos2? ?
525124∴ 1 ? sin2? ? ? sin2? ? ?
25252.设
1?sin??cos????34?5(2)∵ ? ? cos? ?或
1255?sin?cos????25?又0 ? ? ? ? 且sin? cos? ? ?
123 ∴ sin? ? 0，cos? ? 0，故cos? ? ? 255
3?14? ? ? 2?且sin? ? cos? ?，则cos? ? 。 【解答】 2553?【详解】因为? ? ? 2?，所以sin? ? 0，cos? ? 0
21124将sin? ? cos? ?平方，得1 ? 2sin? cos? ? ∴ 2sin? cos? ? ?
5252524497其次，因为(sin? ? cos? )2 ?1 ? 2sin? cos? ? 1 ?? ∴ sin? ? cos? ? ?（取负号）
252551784将sin? ? cos? ?及sin? ? cos? ? ?两式相减，得2cos? ? ∴ cos? ?
5555
??244.设tan? 3，则sin2? ? 。 【解答】
252随堂练习.若
2?6?3，cos? ?2??4
?5?1051?tan21?tan22234?24sin2? ? 2sin? cos? ? 2．．(?) ?
2555【详解】∵ tan
随堂练习.设tan
? ? 3 ∴ sin? ?22tan?1?tan2?? ? t，以t表出：(1) tan? ? 。 (2) sin2? ? 。 22t4t?4t3【解答】(1) (2)
1?t21?2t2?t42?2t
1?t22?1?tan22t2?22tan?4t?4t31?t(2) sin2? ???
2t21?2t2?t41?tan2?1?()1?t2
【详解】(1) tan? ?
5.设0 ? x ? 2?，cos2x ? 5cosx ? 3 ? 0之解为 。 【解答】【详解】cos2x ? 5cosx ? 3 ? 0 ? 2cosx ? 1 ? 5cosx ? 3 ? 0 ? 2cos2x ? 5cosx ? 2 ? 0 ? cosx ?∴ x ?
2
2tan??3或5? 31或2（不合） 2?3或5? 36.设sin?，cos?为方程式x2 ? px ? q ? 0的二根，试以p，q表2cos2
???(cos? sin)2。 222【解答】1 ? p ? q
【详解】∵sin?，cos? 为x2 ? px ? q ? 0的二根 ∴ sin? ? cos? ? ? p，sin?．cos? ? q 故2cos2
???????(cos? sin)2 ? (1 ? cos?)(cos2? 2sincos? sin2) 2222222? (1 ? cos?)(1 ? sin?) ? 1 ? (sin? ? cos?) ? sin? cos? ? 1 ? ( ? p) ? q ? 1 ? p ? q
3?5?7??cos2?cos2 ? 。
88881(2) cos20?cos40?cos80? ? 。 【解答】(1) 2 (2)
8?3?5?7?1?cos1?cos1?cos1?cos4?4?4?4 【详解】(1)原式 ?
222211?357?? 4 ?(cos? cos? ? cos? ? cos?) ? 2
4444222sin20?cos20?cos40?cos80?(2) cos20? cos40? cos80? ??
2sin20?11sin80?cos80?sin160?sin40?cos40?cos80?2sin20?1? ??2?2sin20?2sin20?4sin20?8sin20?8
12?4?8?随堂练习.coscoscos之值为 。 【解答】
77787.求下列各值：(1) cos2
??cos2【详解】
2?2?4?8?4?4?8?cos cos cos 4(sincos) cos 2?4?8?7777?777 coscoscos?
2?2?7778sin8sin778?8?16?2?2sincos sinsin77?7?7?1 ?
2?2?82?8sin8sin8sin7778sinsin2AcosA?，试判断此三角形的形状。【解答】等腰或直角三角形 sinBcosCsin2AcosA【详解】??sin2A cosC ? cosA sinB∴2sinA cosA cosC ? cosA sin(π ? (A ? C))
sinBcosC8.在△ABC中，若
∴2sinA cosA cosC ? cosA sin(A ? C)∴cosA[2sinA cosC ? (sinA cosC ? cosA sinC)] ? 0 ∴cosA(sinA cosC ? cosA sinC) ? 0 ∴cosA sin(A ? C) ? 0
故当cosA ? 0，则A ? 90?；而当sin(A ? C) ? 0，则A ? C，故为等腰或直角三角形
9.试求tan9? ? tan27? ? tan63? ? tan81?之值。 【解答】4
【详解】tan9? ? tan27? ? tan63? ? tan81? ? (tan9? ? tan81?) ? (tan27? ? tan63?) ? (tan9? ? cot9?) ? (tan27? ? cot27?) ? (
sin9?cos9?sin27?cos27???) ? () cos9?sin9?cos27?sin27??
1122????
sin18?sin54?sin27?cos27?sin9?cos9? ? 4
2 ． 4?
5?12 ． 4?
5?18(5?1)?8(5?1)(5?1) ． (5?1)
??? ?) ? tan(? ?) ? 2sec2?。 44??tan?tan?tan?tan???44【证明】tan(? ?) ? tan(? ?) ??
??441?tantan?1?tantan?4410.试证：tan(
21?tan?1?tan?(1?tan?)2?(1?tan?)22(1?tan2?)?????? 2sec2?
1?tan?1?tan?cos2?1?tan2?1?tan2?
11.利用cos3? ? 4cos3? ? 3cos?，证明：sin18? ?
5?1。 4【证明】令? ? 18? ∴ 5? ? 90? ? 3? ? 90? ? 2?
∴ cos3? ? cos(90? ? 2?) ? 4cos3? ? 3cos? ? sin2? ? 2sin? cos? ? 4cos2? ? 3 ? 2sin? ? 4(1 ? sin2?) ? 3 ? 2sin? ? 4sin2? ? 2sin? ? 1 ? 0 ? sin? ?
?2?20?1?5? 84