数学归纳法及其应用
数学归纳法是一种证明与正整数有关的命题的非常重要的数学方法，它不仅对我们中学数学的学习有着很大的帮助,而且在进一步学习及研究高等数学时,也是一种非常重要的方法．数学归纳法在证明与正整数有关的命题时有其独特之处．对数学归纳法逻辑基础即原理的准确理解，是掌握这种证明方法的关键．要熟练的掌握及应用数学归纳法，首先必须准确的理解其意义以及熟练地掌握解题步骤，而在三个步骤中,运用归纳假设尤为关键,运用归纳假设推出结论最为重要．数学归纳法可以用来证明与正整数有关的代数恒等式、不等式、整除性问题和几何问题等．
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正整数是无穷的．一个与正整数N有关的命题，当n=1时表示一个命题，
当n=2时又表示一个命题，如此等等，无穷无尽．因此，一个与正整数N有关的命题本质上包含了无穷多个命题．假如我们对于这无穷多个命题，按部就班地一个一个去证，那么不管我们的证题速度有多快，也是今生今世都证不完的．
在一个与正整数N有关的命题面前，作为万物之灵的人，发明了一种方法，叫做“数学归纳法”．人们运用此法，只需寥寥几步，像变戏法似的，便把无穷多个命题一个不剩的全证完了[1]．
数学归纳法是数学论证的一个基本工具，是一种非常重要的数学证明方法，它典型地用于确定一个表达式在所有正整数范围内是成立的，或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的．最简单和最常见的数学归纳法证明是证明当n属于所有正整数时一个表达式成立，这种方法是由下面两步组成，第一步是递推的基础: 证明当nn=k=1时表达式成立．第二步是递推的依据: 证明如果当
时成立，那么当n=k+1时同样成立．(递推的依据中的“如果”被定义为
归纳假设． 不要把整个第二步称为归纳假设．) 这个方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的，然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的．如果这两步都被证明了，那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中．
1 数学归纳法的概述
1．1 常用数学证明方法
数学是一门非常注重学习方法的学科,而数学的证明更是将这些方法体现的淋漓尽致，数学中研究问题的方法一般有以下分类：
1．1.1 演绎推理——从一般到特殊的推理叫做演绎推理，它又称演绎法． 1．1．2 归纳推理——由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳推理，它又称归纳法．根据推理过程中考察的对象是涉及事物的一部分还是全部，归纳法又可分为不完全归纳法和完全归纳法．
不完全归纳法是根据事物的部分（而不是全部）特例得出一般结论的推理方法．不完全归纳法所得到的命题并不一定成立，所以这种方法并不能作为一种论证方法．但是，不完全归纳法是研究数学的一把钥匙，是发现数学规律的一种重要手段．在问题探索中，为了寻求一般规律，往往先考察一些特例，通过对这些
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特例的不完全归纳形成猜想，然后再试图去证明或否定这种猜想．因而学会用不完全归纳法对问题进行探索，对提高数学能力十分重要．
完全归纳法是一种在研究了事物的所有（有限种）特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法．与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的．通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法[2]．
1.2 数学归纳法的定义
数学归纳法概念: 数学归纳法是数学上证明与正整数N有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题．
1.3 数学归纳法的逻辑基础
意大利有一个数学家，名叫皮亚诺（G．Peano,1858-1932），他总结了自然数的有关性质，并在关于自然数的理论中提出了关于自然数的五条公理，后人称之为“皮亚诺公理”．
皮亚诺公理的内容如下：
任何一个满足下列条件的非空集合N的元素叫做自然数．在这个集合中，某些元素之间存在着一种基本关系——“随从”关系（或者叫做“直接后继”关系）并且满足以下五条公理：
Ⅰ．0?N（即“0是自然数” ）．
Ⅱ． 对于N的每一个元素a,在N中都有一个确定的随从a'（我们用符号a'表示a的随从，以下类同）．
Ⅲ． 0不是N中任何一个元素的随从． Ⅳ． 由a'=b'可以推出a=b（这就是说，N中的每个元素只能是某一个元
素的随从，或者根本不是随从）．
Ⅴ． 设M是自然数的集合，若它具有下列性质： （1）自然数0属于M；
（2）如果自然数a属于M，那么它的随从a'也属于M； 则集合M包含一切自然数[1]．
自然数就是满足上述皮亚诺公理的集合N中的元素.关于自然数的所有性质都是这些公理的直接推论.由皮亚诺公理可知，0是自然数关于“后继”的起始元素，如果记0'
=1，1=2'，2'=3，?，n=n+1，?，则
'2
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N={0,1,2,?,n,?}
皮亚诺公理与最小数原理是等价的，我们可以用皮亚诺公理来证明最小数原理.
定理1 （最小数原理） 自然数集N的任意非空子集A都有最小数. 证 设M是不大于A中任何数的所有自然数的集合，即
M={n|n危N且nm,对任意m A}
A由于A非空，至少有一自然数a?从而必存在自然数m0?（1）0?M,而a+1(>a)不在M中，所以M.因为若不然，就有
1N.
M，且m0+1 M(0不大于任一自然数）；
M（2）若m?，则m+1 M.
根据归纳原理，集合M包含一切自然数．此与M是不大于A中任何数的所有自然数的集合矛盾.
这个自然数m0就是集合A的最小数，因为对任何a?m0?AA，都有m0￡a；而且，这
.事实上，若m0?A，则有m0+1 a，对任意a?A，于是m0+1 M又与m0的选取相矛盾.
下面我们用最小数原理来证明数学归纳法原理.
定理2 （数学归纳法原理）一个与自然数有相关的命题T(n)，如果
（1）T(n0)(n030)为真；
为真，则可以推出T(n+1)也为真.那么，对所有大于
（2）假设T(n)(n3n0)等于n0的正整数n，命题T(n)为真.
证 用反证法.若命题T(n)不是对所有的自然数n为真，则
M={m|m纬N,mn0且T(m)不真}
>n0，从而m0-1 n0且
非空.根据定理1，M中有最小数m0.由（1），m0T(m0-1)为真.由（2），取n=m0-1即知T(m0)为真.此与T(m0)不真相矛盾.从而
证明了定理2[4].
因而从理论上讲，皮亚诺公理中的第五条公理正是数学归纳法的依据，因此，第五条公理也称做数学归纳法原理。
2 数学归纳法的步骤
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数学归纳法的步骤相当严谨,如果把要证明的命题记作法的步骤为:
（1）证明当n取第一个允许值n0时，p(n)正确； （2）假设n时，p(k+1)p(n),那么数学归纳
=k(k纬N,且k*n0)时，命题成立，即p(k)正确，证明当n=k+1也正确．
n0) （3）根据（1）、（2），p(n)对任意正整数n(n3都成立．
运用数学归纳法证明时, 以上三个步骤缺一不可, 步骤（1）是正确的奠基步骤,称之为归纳基础, 步骤（2）反映了无限递推关系,即命题的正确性具有传递性,若只有步骤（1）, 而无步骤（2）,只是证明了命题在特殊情况下的正确性，是不完全归纳法,若只有步骤(2),而没有步骤（1）,那么假设n=k(k n0)成立,
就是没有根据的,缺少递推的基础,也无法进行递推,有了步骤（1）和步骤（2），使递推成为了可能, （1）是整个数学归纳法证明的基础，（2）是最根本的一步，是整个数学归纳法证明的核心．通过（2），人们的认识才到达了质的飞跃——通过有限认识了无限．而作为纯形式的这一步骤，事实上相当于证明了一个新命题：“若p(k)(k3n0)真，则p(k+1)真”．步骤(3)是将步骤(1)与步骤(2)结合，完成
数学归纳法中递推的全过程,因此三个步骤缺一不可．
数学归纳法的实质在于：将一个无法穷尽检验证明的命题转化为证明两个普通的命题：“
p(n0)真”和“若p(k)(k3n0)真，则p(k+1)真”，从而达到证明的
目的．所以，可以说数学归纳法是“化归方法”的一种，它把“无限”的东西转化到“有限”上来．
3 数学归纳法的典型应用
数学归纳法是证明与正整数有关的命题的一种极为有效的方法，它在证明中的应用是十分广泛的．应用数学归纳法可以证明与正整数n有关的恒等式、不等式、证明整除问题、证明几何问题等． 3．1证明恒等式
应用数学归纳法证明的恒等式，包括与正整数有关的代数恒等式、三角恒等式、组合数公式及其恒等式等，证明过程中只要实现等式左右两边相等即可．下面举例说明．
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