河南师范大学本科毕业论文
x2(k+1)222-y2k2k2(k+1)22k2k22k222k
=xx=xx-yy-xy-y2
+xy2k-yy2=x(x2k2k)+y2(x-y) 因为x2k-y2k与x2-y都能被x+y整除，所以上面的和
x(x22k
也能被x+y整除．
-y2k)+y2k(x-y)
22 这就是说，当n=k+1时，x2(k+1)-y2(k+1)能被x+y整除．
N* 根据（1）和（2），可知命题对任何n?3.4 证明几何问题
都成立[2]．
应用数学归纳法证明几何问题是数学归纳法的一个重要应用．数学归纳法是证明与正整数有关的命题的重要方法，但是运用它只能证明命题的正确性，而不能指望由它发现命题．数学家华罗庚曾在其《数学归纳法》一书中指出；“难处不在于有了公式去证明，而在于没有公式之前，怎样去找出公式来．”不少与正整数有关的几何问题，也可以用数学归纳法证明，但是在证明之前要找出规律，获得公式，然后才能用数学归纳法证明结论．
例1 平面内有n(n3证明交点个数
f(n)2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，
．
等于
=2n(n-1)2证明：（1）当n时，两条直线的交点只有1个，又
f(2)=12创2(2-1)=1,
因此，当n （2）假设n的交点的个数
=2时，命题成立．
时命题成立，就是说，平面内满足假设的任何k条直线
k(k-1)．现在来考虑平面内有k+1=k(k 2)f(k)等于
12条直线的情况．任
取其中的1条直线，记为l，由上面的假设，除l以外的其它k条直线的交点的个数
f(k)等于
12k(k-1)．另外，因为已知任何两条直线不平行，所以l必与平面内
其他k条直线都相交（有k个交点）；又因为已知任何三条直线不过同一点，所
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以上面k个交点两两不相同，且与平面内其他的从而平面内交点的个数是
12k(k-1)+k12k(k-1)个交点也两两不相同，
==1212k[(k-1)+2]
(k+1)[(k+1)-1] 这就是说，当n=k+1时，k+1条直线交点的个数
f(k+1)=12(k+1)[(k+1)-1]
根据（1）和（2），可知命题对任何大于1的正整数都成立[2]． 例2 求证凸n边形的内角和 证明：（1）当n=3时，
f(n)=(n-2)p(n纬N且n3)．
f(3)=(3-2)p=p
∵三角形内角和等于p ∴当n=3时，命题正确． （2）假设n 当n=k(k 3)时命题成立，即
f(k)=(k-2)p
的两端点得到线
=k+1，连结k+1边形有公共顶点的两条线段AB、AC-1条线段组成一个k段BC,则BC与除AB、AC外的k一个三角形． ∴
边形，AB、AC与BC组成
f(k+1)=(k+2)p+p=[(k+1)+1]p=k+1时，命题成立．
∴当n 由（1）、（2）可知，命题对n33都成立．
4 应用数学归纳法时容易出现的错误分析
刚刚接触数学归纳法时容易出现对步骤把握不清的现象，下面针对几种常见错误进行分析． 4.1
忽略了归纳奠定基础的必要性
n=n(n+1)2+1
错例1 试证 1+2+3+? 错证：假设n
=k时等式成立，即
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1+2+3+?+k=k(k+1)2+1
则当n=k+1时，
1+2+3+?+k+k+1k(k+1)22 ==+1+k+1+1
(k+1)(k+2) 即当n=k+1时等式成立．
根据数学归纳法原理可知，当n是任意正整数时，等式都成立．
评注：事实上，1+2+3+?+n=n(n+1)2．因此错例1的题目是错误的．上
述错证，竟把错误的结论“证明”出来了，岂非怪哉？此种怪现象出现的原因，就是缺少归纳奠定这一步．切莫以为归纳奠定这一步就是“当n=1时命题正确”
这么一句话，似乎无关紧要，可有可无．从上例可以看出，不去认真地检验这一步，或者根本没有这一步，就可能陷入错误的泥潭．因此，只有归纳递推、没有归纳奠定基础的论证是错误的．归纳奠基步骤决不能少[1]． 4.2
弄不清n从k变化到k12+13+14+1命题发生变化时到底增加了几项
例1 求证：1+ 当n=k+?+121312n-1>n2(n N)12k-1
时，左边为1+++14+?+
则当n1+12+=k+1时左边应为
13+14+?+12k-1+(12k-1+1+12k-1+2+?+12k-1+2k-1)
就增加了括号中的那部分共2k-1项，而往往在此处由于受到前期思维定势的影响，判断为只增加一项，那就错了． 又如前面3.2中的例2 求证：
1n+1+1n+2+?+12n>1324(n澄2,nN)
在解此题时，要注意弄清n从k变化到k在第二步假设n=k(k澄2,kN)+1时，左边增加了几项．
时，即有
1k+1+1k+2+?+12k>1324
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那么，当n=k+1时，左边变化为
1k+2+1k+3+?+12k+(12k+1+12k+2)
整体增加了一项，但尾项应比原来增加两项，即4.3
在第二步证明中没有利用归纳假设
12k+1和
12k+2 ．
比如用数学归纳法证明的：
证明：（1）当nn+n =1时，左边=2，右边=2 ∵左边<右边 ∴原不等式成立 （2）假设当n那么当n = < ∴n==k(k N)时不等式成立，即*k+k =k+1时， 2(k+1)+(k+1) k+3k+222 k+3k+2+(k+2)(k+2)2 =(k+1)+1=k+1时不等式也成立． 由（1）、（2）知对于n?N*，命题成立． =k 上述的证明方法表象似乎是“数学归纳法”，其实不是，因为第二步由n推导n=k+1时，没有用到归纳假设来证明不等式成立，这就好像接力赛跑一样 +1[7]没有由前一个k将接力棒传给k． 5 应用数学归纳法时的一些技巧 5.1 灵活选取“起点” 第一步验证n=n0时，一般情况下也总能把命题证明出来，但对有些问题， 则必须根据题目具体条件，对第一步做些调整，灵活选取起点n0，比如，适当的将起点前移或后挪，会对问题的解决大有帮助.所谓“起点的前移”是指对命题 P(n)，若验证起点P(r)（如P(1)）比较困难或麻烦，而P(r-1)（如P(0)）有意 13 河南师范大学本科毕业论文 义时，不妨将起点的验证移至P(r-P(2)1)；所谓“起点后挪”是指对命题P(n)，P(1)， ，?，P(r-1)不能统一到“归纳”过程中去，这时可将起点后挪至P(r)， 1)当然P(1)，P(2)，?，P(r-需要用完全归纳法予以一一验证. +(x+1)2n+1例1 若n、x为正整数，则xn+2证明：（1）当n（2）假设n 则当n能被x2+x+1整除. =0时，显然成立. =k(k N)时命题成立. =k+1时， xk+3=x=x=xk+2k+2k+2+(x+1)2k+3 ?(x?(x?x2?x?x?x(x+1)(x+1)(x+1)+(x+1)2k+12k+12k+11)22x+1)(x+1)2k+1?(x22 x+1)x+1)=x[xk+22k+1]+(x+1)2k+1?(x 由假设知，n=k+1时命题成立. 综合（1）、（2）知原命题成立. 上例假设是n为正整数，而我们第一步验证n直接验证n=0，这时命题显然成立，这比 =1要容易的多.并且这样选择的n=0并不影响后面的递推步，“起点” 在这种情形下是允许这样做的. 例2 试证：对一切自然数n，都有2n分析：不妨先看看第二步， 假设n=k+2>n2. 时，有2k2k+1+2>k2，即2kk>k-222.则当n=k+1时， 2+2=2?222>2(k-2)+2=2k-2. ∵(2k2由于k-2)-(k+1)=k-2k-3=(k-3)(k+1)+1>02, . =1“后挪” ，欲使上式大于0，必有k>3，即k34这说明要完成归纳递推，k必须从4开始.因而起点也必须从n至n=4.此时第一步就应该是： =1,2,3,4当n时，（经验证）命题都成立. 这里运用了“起点后挪”的技巧[10]. 5.2 恰当选取“跨度” 在归纳中，有时采用较大的跨度更为方便，就可以改变跨度，不过应注意随 14