河南师范大学本科毕业论文
例1 用数学归纳法证明：
11?3?13?5???1(2n?1)?(2n?1)11?3?13?1n2n?1?13(n?N)*
证明：(1)当n=1时，左边?，右边?2?1?1
∴左边=右边
(2)假设n=k时，等式成立．即
11?3?13?5???1(2k?1)?(2k?1)?k2k?1
当n=k+1时，
11?3??k13?5????1(2k?1)?(2k?1)1?1(2k?1)(2k?3)2k?1(2k?1)(2k?3) ??k(2k?3)?1(2k?1)(2k?3)(2k?1)(k?1)(2k?1)(2k?3)k?12(k?1)?1=k+1时，等式也成立．
N*
? ∴当n 由(1)(2)知，等式对任何n?都成立．
例2 （2010江苏卷（理科））已知△ABC的三边长都是有理数． （1）求证：cosA是有理数；
（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数． 证明：(1)由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知cos是有理数．
(2)用数学归纳法证明cosnA和sin ①当n有理数． ②假设当n 当n
A=AB+AC22-BC22AB×ACA×sinnA都是有理数．
=1时，由（1）知cosA是有理数，从而有sinA?sinA?1?cosA2也是
?k(k?1)时，coskA和sinA×sinkA都是有理数．
=k+1时，由
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cos(k
?1)A?cosA?coskA?sinA?sinkA,
sinA?sin(k?1)A?sinA?(sinkA?cosA?coskA?sinA)?(sinA?sinkA)?cosA?(sinA?sinA)?coskA+1)A 由①和归纳假设，知cos(k 即当n与sinA?sin(k?1)A都是有理数．
=k+1时，结论成立．
综合①、②可知，对任意正整数n，cosnA是有理数[5]．
数学归纳法最简单的应用之一，是用来研究排列和组合的公式，通过高中的学习，我们已经知道：“从n个不同的元素里，每次取r个，按照一定的顺序摆成一排，称做从n个元素里每次取出r个元素的排列．”排列的种数，称做排列数．从
n个不同的元素里每次取r个元素所有不同的排列数，可以用符号Anr来表示．对
于Anr有下面的公式： 定理1 Anr=n(n-1)(n-2)?(n-r+1)
现在我们用数学归纳法来证明它．
1证明：首先，An=n．
这是显然的．如果再能证明
Anr=nAn-1，
r-1那么，这个定理就可以应用数学归纳法来证明．
我们假定n个元素是a1,a2,?,an,在每次取出r个元素的Anr种排列法里，以a1为首的共有Anr--11种，以a2为首的同样也有Anr--11种，由此即得
Anr 于是定理得证[6]． 3．2 证明不等式
应用数学归纳法证明不等式，分为严格不等式和非严格不等式两种．严格不等式的证明，只要保证原不等式中的“﹥”或“﹤”成立即可．对于非严格不等式，情况略显复杂，在证明过程的第一步验证中，对于“3”或“￡”的处理，存在两种不同的看法，一种观点认为：在第一步中，既要验证“A也要说明
A常B(AA
r-1”成立，
成立．只有如此，才能更充分地体现非严格不等式
或A
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有一个成立，即可说明非严格不等式A常B(AB)成立．从逻辑连接词的角度，
=B我倾向于后者．事实上，用数学归纳法证明非严格不等式时，AA￡B是A3B或
的基础[7]．
?a2???an)(1a1?1a2???1an)?n(an?0)
2 例1 求证：(a1 证明：（1）当n （2）假设当n=1时，不等式成立．
?k(k?N)时命题成立，即
1a1?1a2???1ak)?k2(a1?a2???ak)(
那么当n=k+1
(a1?a2???ak?ak?1)(?(a1?a2???ak)(1a1?1a11a2?1a2???1ak1ak?1ak?1)1ak?11a11a21ak???)?(a1?a2???ak)?ak?1(????)?1?k2?2(a1?a2???ak)?2k21ak?1?ak?1(1a1?1a2???1ak)?1 ?k2?1
=k+2k+1=(k+1)22
即当n=k+1时，命题成立．
N* 根据（1）和（2），可知命题对任何n? 例2 求证：
1n?1?1n?2???12n13+都成立[8]．
?141324=7(n?2,n?N)
14241324 证明：（1）当n=2时，左边=
12=>=右边
∴不等式成立 （2）假设当n?k(k?2)时命题成立，即
1k+1+1k+2+?+12k>1324
令Sk
=1k+1+1k+2+?+12k
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那么当n=k+1时，令Sk+1=1k+2+1k+3+?+12k+12k+1+12k+2
则有Sk+1- ∴Sk+1>SkSk=12k+1+12k+2-1k+1=12(k+1)(2k+1)>0
>1324 由归纳假设知，Sk 即当n，则Sk+1>1324
=k+1时，命题成立．
32 根据（1）和（2），可知命题对任何n都成立．
有时候，我们要证明的不等式无法直接运用归纳法解决，这时，我们则考虑将不等式加强以便运用归纳法．而不等式加强的形式是多样的，其中规律有法可循——根据要证不等式的形式进行构造．
例3 已知数列{an}满足a1 （1）求
1a1+2a2ann?32,且an?3nan?12an?1?n?1(n?2,n?N)*
+?+nan的值；
5613n* （2）设bn=，求证：b1bn<2?b2???bn?n??(n?N)
? （3）求证：b1b2鬃
3-13nn 分析：（1）可以证明
nan=，于是
1a1?2a2???nan?n?12?11n?()23
（2）可用放缩法或数学归纳法证明．
现在考虑第（3）小题，尝试直接用数学归纳法证明，但由于不等式右边是常数2，很难利用归纳假设．
先考虑一个经典的问题：求证1?用放缩法证明1+122122?132???1n2?2(n?N)*，我们可以使
1n1n+132+?+1n2?111创2+121223+?+1321(n-1) n1n2=2-(n N*)，
因此，我们可以使用数学归纳法先证明，1?2-1n<2(n N)*?????2?，又因为有
，从而证得1?122?132???1n2?2(n?N)*，也就是我们可以将
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不等式进一步加强后再用数学归纳法证明．
鉴于此，我们重新考虑第（3）小题，把不等式加强成什么形式呢？ 猜想b1b2不等式b1b2???bn?2?n3?13nn(n?N)*，但发现当n=1时不等式不成立，事实上，
???bn?2?3?13n(n?2)是成立的，数学归纳法易证之[9]．
3．3 证明整除问题
应用数学归纳法证明整除性问题，是数学归纳法的重要应用之一．在做这一部分题时，应从整除的基本含义入手，通过添项去项进行“配凑”，使之能够获证．
例1 用数学归纳法证明：34n+2证明：（1）当n ∴当n （2）假设n 那么，当n=0时，34n+2+52n+1(n N)能被14整除.
+52n+1=14，能被14整除.
=0时，命题成立.
4k+2=k(k N)时，命题成立.即3=k+1时，
+52k+1能被14整除
34(k+1)+2 =34?34k+2
=81?(3=81?(34k+24k+2+52(k+1)+1
52k+3
)-81?5)-56 52k+1552k+12k+12k+12k+152k+3
=k+1时，
由归纳假设知34k+2命题也成立．
+5能被14整除，又56能被14整除，故当n 根据（1）和（2），可知命题对任何n?例2 用数学归纳法证明：x2nB-y2nN都成立．
*(n N)能被x+y整除（对于多项式A，
,如果AB=C,C也是多项式，那么A能被B整除）
=1时，x-y22证明：（1）当n=(x+y)(x-y)，x-y22能被x+y整除．
（2）假设当n那么当n=k(k N)时，x*2k-y2k能被x+y整除，
=k+1时，
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