考点： 勾股定理的应用．
分析： 根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
解答： 解：两棵树的高度差为6﹣2=4m，间距为5m，
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离==m．
故答案为：．
点评： 本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解．
18．2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边
2
为b，那么（a+b）的值为 25 ．
考点： 勾股定理．
分析： 根据大正方形的面积即可求得c，利用勾股定理可以得到a+b=c，然后求得直角
2222
三角形的面积即可求得ab的值，根据（a+b）=a+b+2ab=c+2ab即可求解． 解答： 解：∵大正方形的面积是13， 2
∴c=13， 222
∴a+b=c=13， ∵直角三角形的面积是
=3，
2222
又∵直角三角形的面积是ab=3，
∴ab=6，
2222
∴（a+b）=a+b+2ab=c+2ab=13+2×6=13+12=25． 故答案是：25．
点评： 本题考查了勾股定理以及完全平方公式，正确表示出直角三角形的面积是解题的关键．
三、解答题（共7小题，66分） 19．（12分）（2015春?武夷山市校级期末）化简： （1）（（2）x=
﹣
）﹣（
+
2
）
﹣1，求代数式x+3x﹣4的值．
考点： 二次根式的混合运算．
分析： （1）先进行二次根式的化简，然后去括号，合并同类二次根式求解； （2）先进行因式分解，然后将x的值代入求解．
解答： 解：（1）原式=2=
﹣
2
﹣﹣﹣
；
（2）x+3x﹣4=（x+4）（x﹣1） =（+3）（﹣2） =2﹣2+3﹣6 =﹣4+． 点评： 本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简以及合并．
20．如图所示，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，∠A=90°，求四边形ABCD的面积．
考点： 勾股定理的逆定理；勾股定理． 专题： 几何图形问题．
分析： 连接BD，根据已知分别求得△ABD的面积与△BDC的面积，即可求四边形ABCD的面积．
解答： 解：连接BD，
∵AB=3cm，AD=4cm，∠A=90°
∴BD=5cm，S△ABD=×3×4=6cm 又∵BD=5cm，BC=13cm，CD=12cm ∴BD+CD=BC ∴∠BDC=90°
∴S△BDC=×5×12=30cm
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=6+30=36cm．
2
2
2
2
2
2
点评： 此题主要考查勾股定理和逆定理的应用，还涉及了三角形的面积计算．连接BD，是关键的一步．
21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足为M，AN⊥DC，垂足为N，若∠BAD=∠BCD，AM=AN，求证：四边形ABCD是菱形．
考点： 菱形的判定． 专题： 证明题． 分析： 首先证明∠B=∠D，可得四边形ABCD是平行四边形，然后再证明△ABM≌△ADN可得AB=AD，再根据菱形的判定定理可得结论． 解答： 证明：∵AD∥BC，
∴∠B+∠BAD=180°，∠D+∠C=180°， ∵∠BAD=∠BCD， ∴∠B=∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AM⊥BC，AN⊥DC， ∴∠AMB=∠AND=90°， 在△ABM和△ADN中，
，
∴△ABM≌△ADN（AAS）， ∴AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形．
点评： 此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形． 22．（10分）（2014春?范县期末）如图，以△ABC的三边为边，在BC的同侧作三个等边△ABD、△BEC、△ACF．
（1）判断四边形ADEF的形状，并证明你的结论；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？是矩形？
考点： 平行四边形的判定；等边三角形的性质；菱形的判定；矩形的判定． 专题： 证明题；开放型．
分析： （1）由题意易得△BDE≌△BAC，所以DE=AC=AF，同理可证，EF=AB=AD，所以四边形ADEF为平行四边形； （2）AB=AC时，可得ADEF的邻边相等，所以ADEF为菱形，AEDF要是矩形，则∠DEF=90°，由∠DEF=∠BED+∠BEC+∠CEF，可推出∠BAC=150°时为矩形． 解答： （1）四边形ADEF为平行四边形， 证明：∵△ABD和△EBC都是等边三角形， ∴BD=AB，BE=BC； ∵∠DBA=∠EBC=60°，
∴∠DBA﹣∠EBA=∠EBC﹣∠EBA， ∴∠DBE=∠ABC； ∵在△BDE和△BAC中
，
∴△BDE≌△BAC， ∴DE=AC=AF，
同理可证：△ECF≌△BCA， ∴EF=AB=AD，
∴ADEF为平行四边形；
（2）AB=AC时，?ADEF为菱形，当∠BAC=150°时?ADEF为矩形． 理由是：∵AB=AC， ∴AD=AF．
∴?ADEF是菱形． ∴∠DEF=90°
=∠BED+∠BEC+∠CEF =∠BCA+60°+∠CBA
=180﹣∠BAC+60° =240°﹣∠BAC， ∴∠BAC=150°，
∵∠DAB=∠FAC=60°， ∴∠DAF=90°，
∴平行四边形ADEF是矩形．
点评： 此题主要考查平行四边形、矩形、菱形的判定． 23．（10分）（2014?龙岩）随着地球上的水资源日益枯竭，各级政府越来越重视倡导节约用水．某市民生活用水按“阶梯水价”方式进行收费，人均月生活用水收费标准如图所示，图中x表示人均月生活用水的吨数，y表示收取的人均月生活用水费（元）．请根据图象信息，回答下列问题：
（1）该市人均月生活用水的收费标准是：不超过5吨，每吨按 1.6 元收取；超过5吨的部分，每吨按 2.4 元收取；
（2）请写出y与x的函数关系式；
（3）若某个家庭有5人，五月份的生活用水费共76元，则该家庭这个月用了多少吨生活用水？
考点： 一次函数的应用．
分析： （1）由图可知，用水5吨是8元，每吨按8÷5=1.6元收取；超过5吨的部分，每吨按（20﹣8）÷（10﹣5）=2.4元收取；
（2）根据图象分x≤5和x＞5，分别设出y与x的函数关系式，代入对应点，得出答案即可； （3）把y=76代入x＞5的y与x的函数关系式，求出x的数值即可． 解答： 解：（1）该市人均月生活用水的收费标准是：不超过5吨，每吨按1.6元收取；超过5吨的部分，每吨按2.4元收取；
（2）当0≤x≤5时，设y=kx，代入（5，8）得 8=5k，
解得k= ∴y=x；
当x＞5时，设y=kx+b，代入（5，8）、（10，20）得
，
解得k=∴y=
，b=﹣4， x﹣4；
综上所述，y=；
（3）把y=
代入y=
x﹣4得