第18章 测量不确定度与回归分析
第18章 测量不确定度与回归分析（知识点）
知识点1 测量误差概述
任何测量的目的都是为了获得被测量的真实值。 （1）量值
量是物体可以从数量上进行确定的一种属性。由一个数和合适的计量单位表示的量称为量值，如某压力为1N。量值有理论真值、约定真值和实际值或标称值与指示值之分。 1）理论真值、约定真值和实际值
真值(True value)是指在一定的时间和空间条件下，能够准确反映被测量真实状态的数值。真值分为理论真值和约定真值两种情形。理论真值是在理想情况下表征一个物理量真实状态或属性的值，它通常客观存在但不能实际测量得到，或者是根据一定的理论所定义的数值，如三角形三内角和为180；约定真值是为了达到某种目的按照约定的办法所确定的值，如光速被约定为3×10m/s，或以高精度等级仪器的测量值约定为低精度等级仪器测量值的真值。实际值是在满足规定准确度时用以代替真值使用的值。
测量结果与被测量真值之差就是测量误差(Measuring error)。误差公理认为：测量误差是不可避免的，即“一切测量都存在误差”。测量误差的大小反映测量质量的好坏。 2）标称值和指示值
标称值是计量或测量器具上标注的量值。指示值（即测量值）是测量仪表或量具给出或提供的量值。 （2）精度
反映测量结果与真值接近程度的量，称为精度。精度与误差的大小相对应，可用误差的大小来表示精度的高低，误差小则精度高，误差大则精度低。 精度可分为：
·准确度 反映测量结果中系统误差的影响（大小）程度。即测量结果偏离真值的程度。 ·精密度 反映测量结果中随机误差的影响（大小）程度。即测量结果的分散程度。 ·精确度 反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度，其定量特征可用测量的不确定度(或极限误差)来表示。 （3）误差的来源
误差的来源多种多样，如测量环境不理想、测量装置不够精良、测量方法不合理、测量人员专业素质不达标等等，它们对测量结果的影响或大或小。测量误差的主要来源可归纳为以下几个方面。 1)测量环境误差 2)测量装置误差
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传感器与检测技术（第2版）
3)测量方法误差 4)测量人员误差 （4）误差的分类
为便于对测量数据进行误差分析和处理，根据测量数据中误差的特征或性质可以将误差分为三种：系统误差、随机误差和粗大误差。 1)系统误差（systematic error）
由于测量系统本身的性能不完善、测量方法不完善、测量者对仪器的使用不当、环境条件的变化等原因所引起的测量误差称为系统误差。系统误差的特点是：对同一被测量进行多次重复测量时，误差的大小和符号保持不变，或按照一定的规律出现（如始终偏大、偏小或周期性变化等）。
系统误差的大小表明了测量结果的准确度。系统误差越小，则测量结果的准确度越高。 2)随机误差(random error)
对同一被测量进行多次重复测量时，绝对误差的绝对值和符号不可预知地随机变化，但就误差的总体而言，具有一定的统计规律性，这类误差称之为随机误差。
随机误差的大小表明测量结果重复一致的程度，即测量结果的分散性。通常，用精密度表示随机误差的大小。随机误差大，测量结果分散，精密度低。反之，测量结果的重复性好，精密度高。
3)粗大误差(spurious error)
明显偏离测量结果的误差称为粗大误差（也称疏忽误差，或过失误差）。这是由于测量者粗心大意或环境条件突然变化引起的。粗大误差必须避免，含有粗大误差的测量数据应从测量结果中剔出。 （5）误差的表示
根据不同的应用场合和需要，测量误差的表示方法常用以下几种： 1)绝对误差?
就是测量值x与真值L间的差值，可表示为：
?＝x?L （18.1）
2)相对误差?
就是绝对误差与真值的百分比，可表示为：
?＝?100% （18.2）
由于真值L无法知道，实际处理时用测量值x代替真值L来计算相对误差，即：
?L?＝?100% （18.3）
3)引用误差?
?x 409
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是相对于仪表满量程的一种误差，一般用绝对误差除以满量程（即仪表的测量范围上限与测量范围下限之差）的百分数来表示，即：
?=式中：xm－仪表的满量程。
??100% （18.4） xm仪表的精度等级就是根据引用误差来确定的。如0.5级表的引用误差不超过±0.5%（即其满量程的相对误差为±0.5%），1.0级则不超过±1.0%。根据国家标准规定，引用误差分为0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5和5.0共七个等级。 4)基本误差
是仪表在规定的标准条件（即标定条件）下所具有的引用误差。任何仪表都有一个正常的使用环境要求，这就是标准条件。如果仪表在这个条件下工作，则仪表所具有的引用误差为基本误差。测量仪表的精度等级就是由基本误差决定的。
在只有基本误差的情况下，仪表的最大绝对误差为：
?m????xm （18.5）
式中：xm－仪表的满量程。
最大绝对误差?m与测量示值x之百分比称为最大示值相对误差，即：
?m??m??xm?100%???100% （18.6） xx在仪器仪表的精度等级?一定时，由上式可知，越接近满刻度的测量示值，其最大示值相对误差越小、测量精度越高；在选用仪表时要兼顾精度等级和量程，通常要求测量示值落在仪表满刻度的三分之二以上。 5）附加误差
是指当仪表的使用条件偏离标准条件时出现的误差。如温度附加误差、压力附加误差、频率附加误差、电源电压波动附加误差等。 （6）数字仪表的误差表示
数字仪表的基本误差可用以下两种方式表示，它们本质上是一致的，但后者更方便常用。
???a%x?b%xm （18.7）
???a%x?几个字 （18.8）
式中：
?－绝对误差
a－误差的相对项系数
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x－被测量的指示值
b－误差固定项系数
xm－仪表的满量程。
a%x是用示值相对误差表示的，与读数成正比，与仪表各单元电路的不稳定性有关，
称为读数误差。b%xm不随读数变化，xm一定时，它是个定值，称为满度误差；满度误差与所取量程有关，常用“几个字”来表示。
知识点2 随机误差的处理
在等精度测量情况下，得到n个测量值x1,x2,xn，对应的随机误差分别为
?1，?2，?，?n。这组测量值和随机误差都是随机事件，可以用概率统计的方法来处理。
(1)随机误差的正态分布曲线
实践表明，随机误差有如下三个特征：单峰性。有界性。对称性。
上述三个特征使得当测量次数足够多时，随机误差将呈现出正态分布规律，正态分布曲线如图18.2所示。由图可见：随机变量在x?L或?＝0处附近区域有最大概率。
f(?)f(x)xL(a)?－?O(b)?
图18.2 正态分布曲线
(2)正态分布随机误差的数字特征
在实际测量中，由于真值L不可能得到。根据随机变量的正态分布特征，可以用其算术平均值来代替。算术平均值反映了随机变量的分布中心。
算术平均值：
11nx?(x1?x2???xn)??xi （18.11）
nni?1标准差（也称均方根偏差）：
???(xi?1ni?L)2n???i?1n2in （18.12）
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式中：
n－测量次数 xi－第i次测量值。
标准差反映了随机误差的分布范围。标准差愈大，测量数据的分布范围就愈大。图18.3显示了不同标准差下的正态分布曲线。由图可见：?越小，分布曲线就越陡峭，说明随机变量的分散性小，接近真值L，即精度高。反之，?越大，分布曲线越平坦，随机变量的分散性就越大，即精度低。
y0.511.5Lx
18.3 不同均方根偏差下正态分布曲线
在实际测量中，由于真值L无法知道，就用测量值的算术平均值代替。各测量值与算术平均值的差值称为残余误差vi，即
vi?xi?x （18.13）
由残余误差可计算标准差的估计值?s，即著名的贝塞尔公式：
?s??(xi?1ni?x)2n?1??vi?1n2in?1 （18.14）
为了求得标准差，设在相同条件下对被测量进行了m组的“多次测量”，即分别对每一组作n次测量，各组所得的算术平均值为：x1,x2,?,xm，由于存在随机误差，每组的算术平均值并不完全相同，它们本身也是围绕真值L波动的，但波动的范围比单次测量的范围要小，即测量的精度高。算术平均值的精度可由算术平均值的标准差?x来表示，由误差理论可以证明，它与?s的关系如下：
?x??sn （18.15）
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