第18章 测量不确定度与回归分析
（1）要从各元器件的实际情况出发，按各元器件的技术性能、可能达到的水平提出要求，不要提出与其不相适应的过高要求。
（2）误差分配中还要考虑经济性，即既要保证误差要求，又要考虑经济性。 （3）对于元器件的误差不能知道其确切值时，一般取最大允许误差。
在进行误差分配时，先给误差容易确定的元器件分配，然后余下的按等作用原则分配，再根据可能性作适当调整，具体处理步骤如下： ①按等作用原则分配误差 ②按可能性调整误差 ③验算调整后的总误差
知识点8 测量不确定度 18.3.1概述
测量不确定度是与测量结果相关联的一个参数，用以表征合理地赋予被测量值的分散程度。不确定度是对未知的可能误差的评价，它说明测量结果正确性或准确性的可信程度，反映测量结果不能确定的量值范围。测量不确定度是对误差分散性的估计，它是指一个与测量结果有关且表征其分散性的参数，用于描述未定误差特征的量值，是可以估计求出的。但是，测量不确定度不代表具体的误差值，不能用以修正测量值。 (1)测量不确定度定义
测量不确定度是指对测量结果不确定性的评价，是表征被测量的真值在某个量值范围的一个估计，测量结果中所包含的测量不确定度用以表示被测量值的分散性。所有的不确定度分量均用标准差表征，它们或者由随机误差引起，或者由系统误差引起，都对测量结果的分散性产生相应的影响。
一个完整的测量结果应包含被测量值的估计与分散性参数两部分。例如被测量Y的测量结果为y?U，其中y是被测量的估计，它具有的测量不确定度为U。在测量不确定度的定义下，被测量的测量结果所表示的是一个可能值区间。 (2)测量不确定度的来源
测量过程中有许多引起不确定度的来源。测量不确定度常见的10项可能来源： 1)被测量的定义不完整；2)被测量的定义复现不理想；3)抽样可能不完全代表定义的被测量；4)对环境条件的影响或测量程序的认识不足，或对环境条件的测量和控制不完善；5)模拟式仪器的读数偏差；6)测量仪器分辨力和鉴别阈值不够；7)计量标准器和标准物质不准确；8)用于数据计算的常量和其他参量不准确；9)测量方法、测量系统和测量程序中的近似和假设；10)在表面上看来相同的条件下，被测量在重复观测中的变化。 (3)测量不确定度与误差的比较
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相同点：都是评价测量结果质量高低的重要指标，都可作为测量结果的精度评定参数。 区别：
1）从定义上讲，误差是测量结果与真值之差，它以真值或约定真值为中心；测量不确定度是以被测量的估计值为中心。因此误差是一个理想的概念，一般不能准确知道，难以定量；而测量不确定度是反映人们对测量认识不足的程度，是可以定量评定的。
2）在分类上，误差按自身特征和性质分为系统误差、随机误差和粗大误差，并可采取不同的措施来减小或消除各类误差对测量结果的影响。但由于各类误差之间并不存在绝对界限，故在分类判别和误差计算时不易准确掌握。 18.3.2 测量不确定度的评定方法
用标准差表征的不确定度，称为标准不确定度，用u表示。对于一个实际测量过程，影响测量结果的精度有多方面的因素，因此测量不确定度一般包含若干个分量，均是标准不确定度分量，用ui表示。不管这些分量性质如何，都可用两类方法进行评定：一些分量由—系列观测数据的统计分析来评定（称为A类评定）；另一些分量是基于经验或其他信息所认定的概率分布来评定（称为B类评定）。
知识点9 最小二乘法与回归分析 18.4.1 最小二乘法
最小二乘法在误差理论中的基本含义是：利用等精度多次测定值求最可靠测量结果时，该测量结果等于当各测定值的残余误差平方和最小时所求得的值。也就是说，如果把所有测定值都标在坐标图上，测定值与用最小二乘法拟合的直线上对应的点之间的残余误差平方和最小。最小二乘法的基本处理方法如下：
设直接测量量y与m个间接测量量xi?i?1,2,,m?的函数关系为：
y?f?x1,x2,,xm? （18.41）
,n?，其对应的估计值为
现对y进行n次等精度测量得到n个测量值li?i?1,2,?i?i?1,2,y,n?，即有：
?1?f1?x1,x2,,xm??y???y2?f2?x1,x2,,xm? （18.42） ???y??n?fn?x1,x2,,xm??i换成li?i?1,2,如果n?m，此时将测量量当作估计值使用，将上式中的y,m?，则
可由上式直接求得间接测量量。但测量结果总是包含误差，为了提高所得测量结果的精度，
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第18章 测量不确定度与回归分析
可适当增加测量次数（n?m）通过抵偿来减小随机误差对测量结果的影响。此时要求解未知量可应用最小二乘法。最小二乘法原理认为最可信赖值应使残余误差平方和最小。
由于对应的残余误差方程组为：
?1?l1?f1?x1,x2,,xm??v1?l1?y??2?l2?f2?x1,x2,,xm??v2?l2?y （18.43） ???vn?ln?y?n?ln?fn?x1,x2,,xm??所以最小二乘法原理要求的条件转化为：
?vi?1n2i?min （18.44）
如果考虑线性测量的情形，即y?a1x1?a2x2?残余误差方程为：
?amxm，用矩阵表示式（18.43）的
L?AX?V （18.45）
式中：
?a11?a21系数矩阵A??????an1a12a22?an2?a1m??a2m?? (18.46) ?????anm??x1??x?2估计值矩阵（即待求矩阵）X??? (18.47)
??????xm??l1??l?2测量值矩阵L??? (18.48)
??????ln??v1??v?2残余误差矩阵V??? (18.49)
??????vn?人们总是希望尽量减少或消除测量误差，即要求系统误差和随机误差都小。根据式（18.44），残余误差的平方和最小就能保证各测量值与其估计值（即算术平均值）的标准差最小，测量值的分散性最小、精度最高，这就是最小二乘法的基本要求。残余误差平方和最小用矩阵表示为：
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VT?V??L?AX??V?min (18.50)
利用微分学原理，令其对未知数求导的结果等于0可以满足极值要求，得到：
TATV?0 (18.51)
将（18.45）式代入式（18.51），即要求：
AT(L?AX)?0 (18.52)
经整理有：
（ATA)X?ATL (18.53)
从而得到：
X?（ATA)?1ATL (18.54) 这就是用最小二乘法估计得到的最佳矩阵解。
例：铜的电阻值与温度之间的关系为Rt?R0(1???t)，在不同温度下测得的铜电阻的电阻值如表18.5所示。试用最小二乘法估计0℃时的铜电阻的电阻值R0和铜电阻的电阻温度系数?。
表18.5 铜电阻在不同温度下对应的电阻值
ti（℃） 15.0 106.42 20.0 108.56 25.0 110.70 30.0 112.84 35.0 114.98 40.0 117.12 50.0 121.40 Rti（Ω) 解：本问题的误差方程为：
Rti?R0(1???ti)?vi(i?1,2,3,,7)
为了便于求解两个未知量，令x?R0，y??R0。则误差方程可写为：
Rti?（x?tiy)?vi(i?1,2,3,用矩阵表示为：
,7)
L?AX?V
式中：
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?106.42??108.56????110.70???实际测量值矩阵L??112.84?
?114.98????117.12??121.40????1?1??1?系数矩阵A??1?1??1?1?15.0?20.0??25.0??30.0? 35.0??40.0?50.0???x?估计值矩阵X???
?y??v1??v??2??v3???残余误差矩阵V?v4 ???v5??v??6???v7??根据最小二乘法可得出：
X??AA?T?1?100?AL???
0.428??T所以：
R0?x?100?
??y0.428??4.28?10?3/oC R010018.4.2 一元线性拟合
回归分析就是应用数理统计的方法，对实验数据进行分析和处理，从而得出反映变量间相互关系的经验公式，也称回归方程。
在工程实践中，回归分析采用线性回归方程的较普遍。其经验公式的一般形式为：
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y?b0?b1x1?b2x2??bnxn （18.55）
当独立变量只有一个时，就变为一元线性回归（也称一元线性拟合或直线拟合），即：
y?b0?b1x （18.56）
例如，设有n对测量数据（xi,yi），用一元线性回归方程y?b0?b1x拟合，根据测量数据值，求方程中系数b0、b1的最佳估计值。可应用最小二乘法原理，使各测量数据点与回归直线的偏差平方和为最小。所使用的误差方程组为：
?1?y1?(b0?b1x1)?v1?y1?y?2?y2?(b0?b1x2)?v2?y2?y?? （18.57） ??n?yn?(b0?b1xn)?vn?yn?y?式中：
?i－在xi（i?1,2,...,n）点上y的估计值。 y在前面的例子中，如果不知道电阻值与温度间存在关系：Rt?R0(1???t)，则可尝试用一元线性回归分析的方法来建立经验公式。
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