传感器与检测技术（第2版）
在?s不变的情况下，可以画出?x与n的关系曲线如图18.4所示。曲线表明，当n增大时，测量精度相应提高，但测量次数达到一定数目之后(如n＞10)，?x下降很慢。所以要提高测量结果的精度，不能单靠无限地增加测量次数，而需要从采用适当的测量方法、选择仪器的精度及确定适当的测量次数几个方面考虑。一般情况下取n＝5～10范围内较适宜。
?x051015n
图18.4 标准差与测量次数的关系
(3)正态分布的概率计算
为了确定测量的可靠性，需要计算正态分布在不同区间的概率。
由于标准差?是正态分布的特征参数，误差区间通常表示成?的倍数，如t?。由于正态分布的对称性特点，计算概率通常取成对称区间的概率，即：
P(?t??v?t?)?式中：
1?2????t?t?e?v22?2dv （18.18）
t－置信系数
P－置信概率。
表18.1给出几个典型的t值及其对应的概率。
表18.1 t值及其对应的概率
t P 0.6745 0.5 1 0.6827 1.96 0.95 2 0.9545 2.58 0.99 3 0.9973 4 0.99994 由表18.1可知，当t?1时，P＝0.6827，即测量结果中随机误差出现在??~??间的概率为68.27%；当t?3时，出现在?3?~?3?间的概率为99.73%，相应地，v?3?的概率为0.27%，因此一般认为绝对值大于3?的误差是不可能出现的，通常把这个误差称为极限误差?lim。
按照上述分析，测量结果常表示为：
x?x??x(P?0.6827) （18.19）
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第18章 测量不确定度与回归分析
或：
x?x?3?x（P?0.9973) （18.20）
知识点3 系统误差的处理 (1)从误差根源上消除系统误差
系统误差：是由测量系统本身的缺陷或测量方法的不完善造成的，使得测量值中含有固定不变或按一定规律变化的误差。
特点：系统误差不具有抵偿性，也不能通过重复测量来消除，因此在处理方法上与随机误差完全不同。
处理原则：找出系统误差产生的根源，然后采取相应的措施尽量减小或消除系统误差。 分析系统误差的产生原因一般从以下5个方面着手： ·所用测量仪表或元件本身是否准确可靠。 ·测量方法是否完善。
·传感器或仪表的安装、调整、放置等是否正确合理。 ·测量仪表的工作环境条件是否符合规定条件。 ·测量者的操作是否正确。 (2)系统误差的发现与判别 1）实验对比法 2）残余误差观察法 3）准则检查法 (3)系统误差的消除 1）消除系统误差产生的根源 2）在测量系统中采用补偿措施 3）实时反馈修正 4）在测量结果中进行修正
知识点4 粗大误差的处理
粗大误差是由于测量人员的粗心大意导致测量结果明显偏离真值的误差，含有粗大误差的数据必须被剔除。在对测量数据进行误差处理时，首先要完成粗大误差的处理。
对粗大误差的判断一般基于以下几个准则： (1)拉依达准则
也称为3?准则，通常把3?作为极限误差（?为标准差）。如果一组测量数据中某个测量值的残余误差的绝对值v?3?时，则可认为该值含有粗大误差，应舍弃。
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传感器与检测技术（第2版）
(2)肖维勒准则
该准则以正态分布为前提，假设多次重复测量得到的n个测量值中，某个测量值的残余误差v?Zc?，则舍弃该测量值。Zc值的选取与测量列的测量值个数n有关，如表18.3所示。肖维勒准则较3?准则更细化。
表18.3 肖维勒准则中的Zc值
n Zc 3 1.38 13 2.07 4 1.54 14 2.10 5 1.65 15 2.13 6 1.73 16 2.15 7 1.80 18 2.20 8 1.86 20 2.24 9 1.92 25 2.33 10 1.96 30 2.39 11 2.00 40 2.49 12 2.03 50 2.58 n Zc (3)格拉布斯（Grubbs）准则
若某个测量值的残余误差的绝对值v?G?，该准则将判断此值中含有粗大误差，应剔除。G的确定与重复测量次数n和置信概率Pa有关，如表18.4所示。
表18.4 格拉布斯准则中的G值
置信概率Pa 测量次数n 0.99 0.95 对应不同测量次数和置信概率G的取值 1.16 1.49 1.75 1.94 2.10 2.22 2.32 2.41 1.15 1.46 1.67 1.82 1.94 2.03 2.11 2.18 测量次数n 置信概率Pa 0.99 0.95 对应不同测量次数和置信概率G的取值 2.48 2.55 2.61 2.66 2.70 2.74 2.82 2.88 2.23 2.28 2.33 2.37 2.41 2.44 2.50 2.56 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 20 格拉布斯准则的基本处理方法是：设对某被测量作多次等精度独立测量，得到一组测量值，当这组测量值服从正态分布时，首先计算这组测量值的算术平均值x和标准差的估计值
?s；然后将这组测量值按从小到大的顺序排列：x1?x2??xn，计算v1和vn并比较
二者的大小。根据置信概率Pa（一般为0.95或0.99)从表18.4中可查得临界值G(n,Pa)。取v1和vn中较大者做如下判断：v?G?s？如果该式成立，则判别该测量值存在粗大误差，应予剔除，再对剩余测量值重复上述过程，直至确定测量值不存在粗大误差为止；如果
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第18章 测量不确定度与回归分析
该式不成立，则判断该组测量值不存在粗大误差。
知识点5 间接测量误差的传递
有些被测量是不能直接测量的，如电阻率、粘度等，对于这些不能直接测量的量，必须通过一些直接测量的数据，再根据一定的公式通过计算才能得出测量结果。由于直接测量的结果有误差，由直接测量值经过计算得到的间接测量结果也会有误差，这就是间接测量误差的传递。
系统误差和随机误差的性质不同，它们的误差传递算法是不一样的。 (1)系统误差的传递
设被测量y与各个测量值x1,x2,?,xn的函数关系为：
y?f(x1,x2,?,xn) (18.23)
由于系统误差一般较小，其误差可用微分来表示，误差传递表达式为：
?f?f?y??x1??x2??x1?x2n?f?f??xn???xi （18.25） ?xn?xi?1i式（18.25）是绝对误差的传递公式，?f?xi是误差传递系数。式（18.25）两边同除以y，便得到相对误差的传递公式：
?yn?f?y????xi/f （18.26）
y?xi?1i（2）随机误差的传递
如果测量系统的n个环节的标准差分别为：?x1,?x2,?,?xn，则随机误差的传递表达式为：
??f??f?2???y????????x?x1??x?1??n 这就是随机误差的标准差传递公式。 （3）总的误差
2?2???xn （18.27） ?2如果测量系统的系统误差与随机误差相互独立，则总的误差表示为：
?＝?y??y （18.28）
知识点6 测量误差的合成
误差的合成就是已知被测量与各个参数的函数关系以及各个参数测量值的分项误差，求
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被测量的总误差。
这里以已定系统误差的合成为例。由于系统误差已定，则误差的大小、符号和函数关系均为已知，可直接由误差传递公式（18.25）或（18.26）进行合成。
例：两只电阻R1?500?和R2?500?并联，设它们的绝对误差分别为?R1??1?，
?R2?3?。求并联后电阻R的总误差。
解：并联后总电阻可表示为：
R?R1R2500?500??250?
R1?R2500?500根据式（18.25），得到合成后的绝对误差为：
?R2??R1??f?R???Ri???R?????R21?RR?RR?Ri?1i?12??12? 11????1???3?0.5?44n22根据式（18.26），得到合成后的相对误差为：
?R?或：
?R0.5??0.2% R250?R??R2?R1R1?R2R2R1???R1??R2R1?R2R1R1?R2R2R1?R2R1?R2500?15003????0.2P0?500500500?500500
由上式可见，当?R1＝?R2时，则有?R＝?R1＝?R2，表明相对误差相同的电阻并联后总电阻的相对误差与单个电阻的相对误差相同。
知识点7 测量误差的分配
由于任何测量过程皆包含有多项误差，而测量结果的总误差则由各环节误差的综合影响所确定。与误差的传递（或误差的合成）相反，若总的误差已确定，要确定各环节的误差大小以保证总的误差不超过允许值，这一过程称为误差的分配。
误差分配有助于在进行测量工作前，根据给定的允许测量总误差来选择测量方案，合理进行误差分配，确定各环节误差，以保证测量精度。误差分配应考虑测量过程中所有误差组成项的分配问题。
误差的分配一般地说有无穷多个方案，因此往往在某些假设条件下进行分配。误差分配原则如下：
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