2011高考数学萃取精华（11）
1.江西五校联考
20．（本小题满分12分）
已知a?R，函数f(x)?ax?lnx?1，g(x)??lnx?1?e?xx（其中e为自然对数的底数）．
（1）判断函数f(x)在区间?0,e?上的单调性；
（2）是否存在实数x0??0,e?，使曲线y?g(x)在点x?x0处的切线与y轴垂直? 若存在，
求出x0的值；若不存在，请说明理由．
20. （1）解：∵f(x)?ax?lnx?1，∴f?(x)??ax2?1x?x?ax2．
令f?(x)?0，得x?a．
①若a?0，则f?(x)?0，f?x?在区间?0,e?上单调递增.
②若0?a?e，当x??0,a?时，f?(x)?0，函数f?x?在区间?0,a?上单调递减， 当x??a,e?时，f?(x)?0，函数f?x?在区间?a,e?上单调递增， ③若a?e，则f?(x)?0，函数f?x?在区间?0,e?上单调递减. ……6分 （2）解：∵g(x)??lnx?1?e?x，x??0,e?，
xe?1?xxxx???lnx?1?e?1???lnx?1?e?1 g?(x)??lnx?1??e??lnx?1??e??1?x?x?1由（1）可知，当a?1时，f(x)??lnx?1．
x1此时f(x)在区间?0,e?上的最小值为ln1?0，即?lnx?1?0．
xx?1?x0?g(x)??lnx?1∴ ?0，?lnx0?1?0，??e?1?1?0．00xx0?0?曲线y?g(x)在点x?x0处的切线与y轴垂直等价于方程g?(x0)?0有实数解．
当x0??0,e?，ex01而g??x0??0，即方程g?(x0)?0无实数解．
故不存在x0??0,e?，使曲线y?g(x)在点x?x0处的切线与y轴垂直……12分
21．（本小题满分12分）
已知线段CD?23，CD的中点为O，动点A满足AC?AD?2a（a为正常数）． （1）建立适当的直角坐标系，求动点A所在的曲线方程；
（2）若a?2，动点B满足BC?BD?4，且OA?OB，试求?AOB面积的最大值和最小
值．
21. （1）以O为圆心，CD所在直线为轴建立平面直角坐标系
若AC?AD?2a?23，即0?a?3，动点A所在的曲线不存在；
若AC?AD?2a?23，即a?3，动点A所在的曲线方程为y?0(?3?x? 若AC?AD?2a?23，即a?3，动点A所在的曲线方程为
…………………………4分
xa223)；
?y22a?3?1.
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(2)当a?2时，其曲线方程为椭圆 由条件知A,B两点均在椭圆
x2x24?y?1
242?y?1上，且OA?OB
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，OA的斜率为k(k?0)，则OA的方程为y?kx，OB的方程
?y?kx2144k?222为y??x 解方程组?x得x1?，y1? 2221?4kk1?4k?y?1??4 同理可求得x? ?AOB面积S?2224k22k?4，y22?24k?42
(1?k)222
……………8分
121?kx11?t221k2x2=2(1?4k)(k?4)2令1?k?t(t?1)则S?24t?9t?9?2?19t2?9t ?411225254 所以，即?4??9(?)?(t?1)4?g(t)??S?1 2ttt244544当k?0时，可求得S?1,故?S?1， 故S的最小值为，最大值为1. ……12分
55令g(t)??9?9（2）另解：令A(r1cos?,r1sin?),B(?r2sin?,r2cos?)，则
44?2?12222r??rcos??rsin??1111222???4?cos??4sin?1?3sin? ,解得??44?1r2sin2??r2cos2??1?r2??22222??2?4sin??4cos?1?3cos??1664222?sin2???0,1? 所以r1r2?，而2224?9sin?cos?16?9sin2?
因此S?14?4?r1r2??,1?，即最大值是1，最小值是.
52?5?
22．（本小题满分12分）
函数f(x)?an?1?f?1x1?x(0?x?1的)反函数为f?1?1(x)，数列{an}和{bn}满足：a1?12，
(an)，函数y?f(x)的图象在点n,f??1(n)?(n?N)处的切线在y轴上的截
?距为bn.
（1）求数列{an}的通项公式； （2）若数列{bnan2??an}的项中仅
?1b5a52??a522最小,求?的取值范围； ,0?x?1.数列{xn}满足:x1?2（3）令函数g(x)?[f(x)?f(x)]??1?x1?x12,0?xn?1且
2xn?1?g(xn)，(其中n?N).证明:
(x1?x2)x1x2?(x2?x3)x2x32?…?(xn?1?xn)xnxn?1?2?18.
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22. 解:(1)令y?x1?x, 解得x??1y1?y; 由0?x?1, 解得y?0.
x(x?0).
∴函数f(x)的反函数f(x)?1?x则错误！不能通过编辑域代码创建对象。 得
?{1an1an?1?1an?1. 1n?1.…………4分
}是以2为首项，1为公差的等差数列，故an??1(2)?f(x)?x1?x(x?0), ?[f?1?1(x)]?'1(1?x)2, nn?1?1(1?n)2?y?f?1(x)在点(n,f(n))处的切线方程为y?bna2n(x?n),
令x?0得bn?n22(1?n).???an?n??(n?1)?(n?2?2)???2?24.
?仅当n?5时取得最小值，?4.5??2?5.5. ∴?的取值范围为(9,11).………8分
(3)g(x)?[f?1(x)?f(x)]?1?x22所以xn?1?xn?xn(1?xn)?显然1?xn?1?xn??x2?xn?1?xn?xn(1?xn)?1?x1?xn2n?[x1?x?x1?x]?1?x1?x22??x1?x2,x?(0,1).
x?112, 又因0?xn?1, 则xn?1?xn.
.…………………………10分
1?xnx?12n?14?xn?1?12xn?1?2?1422?2?1?2?18
?(xn?1?xn)xnxn?1(x1?x2)x1x222?xn?1?xnxnxn?1(x2?x3)x2x32(xn?1?xn)?(xn?1?xn)(?…??281xn?11xn8?1xn?11x1)?1x22?111(?) 8xnxn?1)?(1x2?1x3)?…?(1xn?1xn?1)]??(xn?1?xn)xnxn?1xn?2?2?1[(? ??2?111(?)?8x1xn?112?xn?1?1, ?1?21(2?1…………………………12分 )11?2, ?0?2?xn?12?1
?(x1?x2)x1x2?(x2?x3)x2x32?…?(xn?1?xn)xnxn?1?2?18(2?1xn?1)?2?18.……………14分
仙游一模
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20(本小题共14分)
设M是由满足下列条件的函数f(x)构成的集合：“①方程f(x)?x?0有实数根；②函数f(x)的导数f?(x)满足0?f?(x)?1.” （1）判断函数f(x)?x2?sinx4是否是集合M中的元素，并说明理由；
（2）集合M中的元素f(x)具有下面的性质：若f(x)的定义域为D，则对于任
意[m，n]?D，都存在x0?[m，n]，使得等式f(n)?f(m)?(n?m)f?(x0)成立”，
试用这一性质证明：方程f(x)?x?0只有一个实数根.
20. 解：（1）因为f?(x)?
134412?14cosx，
所以f?(x)?[,]满足条件0?f?(x)?1,
又因为当x?0时，f(0)?0，所以方程f(x)?x?0有实数根0. 所以函数f(x)?x2?sinx4是集合M中的元素.
（2）假设方程f(x)?x?0存在两个实数根?,?(???），
则f(?)???0,f(?)???0，
不妨设???，根据题意存在数c?(?,?),
使得等式f(?)?f(?)?(???)f?(c)成立
因为f(?)??,f(?)??,且???，所以f?(c)?1
与已知0?f?(x)?1矛盾，所以方程f(x)?x?0只有一个实数根.
21(本小题共14分) 已知f(x)?lnx，g(x)?12x?mx?272(m?0)，直线l与函数f(x)、g(x)的图
象都相切，且与函数f(x)的图象的切点的横坐标为1. (Ⅰ)求直线l的方程及m的值；
(Ⅱ)若h(x)?f(x?1)?g?(x)(其中g?(x)是g(x)的导函数)，求函数h(x)的最
大值；
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(Ⅲ)当0?b?a时，求证：f(a?b)?f(2a)?21. 解：(Ⅰ)?f?(x)?1xb?a2a
，?f?(1)?1.∴直线l的斜率为1，且与函数f(x)的图象的切点
坐标为(1,0). ∴直线l的方程为y?x?1. 又∵直线l与函数y?g(x)的图象相切, ?y?x?1?∴方程组?127有一解. 由上述方程消去y，并整理得
y?x?mx???22x?2(m?1)x?9?0 ①
2依题意，方程①有两个相等的实数根，????2(m?1)??4?9?0 解之，得m?4或m??2 ?m?0 ?m??2 . (Ⅱ)由(Ⅰ)可知g(x)?12x?2x?2272，?g?(x)?x?2
1x?1?1??xx?1?h(x)?ln(x?1)?x?2(x??1) . ?h?(x)? .
∴当x?(?1,0)时，h?(x)?0，当x?(0,??)时，h?(x)?0. ∴当x?0时，h(x)取最大值，其最大值为2.
)?ln2a?ln(Ⅲ) f(a?b)?f(2a)?ln(a?ba?b2ab?a2a?ln(1?b?a). 2a?0?b?a， ??a?b?a?0 ， ??12??0. 由(Ⅱ)知当x?(?1,0)时，h(x)?h(0) ∴当x?(?1,0)时，ln(1?x)?x， ?ln(1?b?a2a)?b?a2a. ∴f(a?b)?f(2a)?b?a2a 广东二模 19. （本小题满分14分）已知定点A（0,－1），点B在圆F:x?(y?1)?16上运动，F为22圆心,线段AB的垂直平分线交BF于P． （I）求动点P的轨迹E的方程；若曲线Q:x?2ax?y?a?1被轨 迹E包围着，求实数a的最小值。 （II）已知M(?2,0)、N(2,0)，动点G在圆F内，且满足?????????2|MG|?|NG|?|OG|，求MG?NG的取值范围．
19. 解析：（I）由题意得|PA|?|PB|， 52226Y BPFA42X 5-2∴|PA|?|PF|?|PB|?|PF|?r?4?|AF|?2 -4第 5 页 共 8 页