∴P点轨迹是以A、F为焦点的椭圆.………………… 3分 设椭圆方程为
?11(a?b?0)， ?aab
2222则2a?4,a?2,a?b?c?1,故b?3，
22xy22??yx22∴点p的轨迹方程为
y24?x23?1 …………………………4分
曲线Q:x2?2ax?y2?a2?1化为(x?a)2?y2?1，
则曲线Q是圆心在(a,0)，半径为1的圆。 而轨迹E：
y24?x230)，(3，0) 6分 ?1为焦点在Y轴上的椭圆，短轴上的顶点为(?3，结合它们的图像知：若曲线Q被轨迹E包围着，则?3?1?a?（II））设G(x，y)，由|MG|?|NG|?|OG|2得：
(x?2)?y?(x?2)?y?x?y，
2222223?1
∴a的最小值为?3?1 …………………8分
化简得x2?y2?2，即x2?y2?2 …………………………10分
?????????而MG?NG?(x?2，y)?(x?2，y)?x2?y2?4?2(y2?1).
∵点G在圆F:x2?(y?1)2?16内，∴x2?(y?1)2?16
∴(y?1)2?16??3?y?5?0?y2?25， ………………………12分
????????2∴?2?（2y?1）?48，∴GA?GB的取值范围为[?2,48)．……………14分
20. （本小题满分14分）设数列{an}的前n项和为Sn，且a1?1，Sn?an?1?1。
n(Ⅰ) 求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）是否存在实数?，使得数列{Sn???n???2}为
等差数列？若存在，求出?的值；若不存在，则说明理由。 （Ⅲ）求证：
13
20. 解析：(Ⅰ) ∵ an?1?Sn?1?0 ①
?2(a1?1)(a2?1)?22(a2?1)(a3?1)?23(a3?1)(a4?1)?????2n(an?1)(an?1?1)?1。
∴n?2时, an?Sn?1?1?0 ②
①─②得：(an?1?an)?(Sn?Sn?1)?0?(an?1?an)?an?0?(n?2)……2分
an?1an?2
由an?1?2Sn?1?0及a1?1得a2?S1?1?0?a2?S1?1?a1?1?2
n?1∴{an}是首项为1，公比为2的等比数列，∴an?2 ………… 4分
（Ⅱ）解法一：由(Ⅰ)知 Sn?1?2n1?2?2?1 ……………… 5分
nn若{Sn???n???2}为等差数列，
则S1???2?,S2?2??4?,S3?3??8?则成等差数
列, …………………………… 6分
∴(S1??)?(S3?5?)?2(S2?2?)?8?6??6?4?，∴??1 …… 8分
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当??1时，Sn???n???2n?Sn?n?2n?n?1，显然{n?1}成等差数列， ∴存在实数??1，使得数列{Sn???n???2n}成等差数列。 ……………… 9分 解法二：由(Ⅰ)知 Sn?1?2n1?2?2?1 ……………… 5分
n∴Sn???n???2n?(2n?1)???n???2n???n?1?(1??)?2n …… 7分 要使数列{Sn???n???2n}成等差数列，则只须1???0，即??1即可。……8分 故存在实数??1，使得数列{Sn???n???2n}成等差数列。 …… 9分
（Ⅲ）∵
∴
2k(ak?1)(ak?1?1)2??2(2k?12kk?1)(2?1)??2(2123k?1?1?12?1k) …… 10分
2n2(a1?1)(a2?1)(a2?1)(a3?1)(a3?1)(a4?1)?????(an?1)(an?1?1)
11111111?2[(0??)(?2?)(????)??(? )]22k?1k2?12?1?21?21?21?21?2?12111?2(?k) …………………………… 12分
22?111111?， ∴?2(?k)?1， ∵0?k2?13322?1∴
13
21. （本小题满分14分）设函数f(x)?x?2x?2ln(1?x).(Ⅰ)求函数f?x?的单调区间；
2?2(a1?1)(a2?1)?22(a2?1)(a3?1)?23(a3?1)(a4?1)?????2n(an?1)(an?1?1)?1 …14分
(Ⅱ)当x?[?1,e?1]时,是否存在整数m，使不等式m?f?x???m?2m?e恒成
221e立？若存在，求整数m的值；若不存在，请说明理由。
2(Ⅲ)关于x的方程f?x??x?x?a在?0,2?上恰有两个相异实根,求实数a的取值范围。
21. 解析：(Ⅰ)由1?x?0得函数f(x)的定义域为(?1,??)， ?。 …………………… 2分 x?1x?1''由f?x??0得x?0；由f?x??0得?1?x?0， f'?x??2x?2?22x?x?2?∴函数f(x)的递增区间是?0,???；递减区间是??1,0?。…………………… 4分 (Ⅱ)由(1)知,f?x?在[?1,0]上递减,在?0,e?1?上递增。 ∴f(x)min?f(0)?0
e1又∵f(?1)?e1e11e2?1，f?e?1??e?3，且e?3?221e2?1,
∴x?[?1,e?1]时,f?x?max?e?3。 …………………… 6分
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??m2?2m?e2?f(x)max∵不等式m?f?x???m?2m?e恒成立, ∴?，
?m?f(x)min22??m2?2m?e2?e2?3?m2?2m?3?0??1?m?3即???????1?m?0
?m?0?m?0?m?0∵m是整数，∴m??1。
∴存在整数m，使不等式m?f?x???m?2m?e恒成立。 …………… 9分
22(Ⅲ)由f?x??x?x?a得x?a?2ln(1?x)?0，x??0,2?
2令g?x??x?a?2ln(1?x),则g'?x??1?由g'21?x?x?1x?1，x??0,2?
?x??0得1?x?2；由g'?x??0得0?x?1。
∴g?x?在?0,1?上单调递减,在?1,2?上单调递增. ……………………… 11分 ∵方程f?x??x2?x?a在?0,2?上恰有两个相异的实根, ∴函数g?x?在?0,1?和?1,2?上各有一个零点,
?g?0??0??a?0??∴?g?1??0??1?a?2ln2?0???2?a?2ln3?0g2?0????∴实数a的取值范围是1?2ln2?a?a?0??a?1?2ln2?1?2ln2?a?2?2ln3， ?a?2?2ln3??2?2ln3 ………………… 14分
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