a?xx?xx?x?x?xx上式=
1a?xaa?a?aa?a???xx ??x?xx?x?a??a1??a??a?x?a?????ax?aaa?????x?xaa?x?x?
??a??xaaa??x??????aa??n?1aaaa??n?1??xxx?xx?xxxa?xxx00a??ax?aa0??a?a00??0??x?a??
?x?a???????an?1???axx?x?0?0?0??x1???0?0a?x??x?a?x??????xn?1??0a?xa?x?1nna???x??x???a?. a?x??5数学归纳法
数学归纳法大多用于行列式的证明，一般情况下在计算行列式的值时是先用不完全归纳法猜想出行列式的值,再用数学归纳法给出证明.下面给出一个计算行列式值的例子
例3 证明下列行列式
2cos?1Dn?0?00?12cos?1?0001??000?1000?12cos?2cos???00??2cos?
sin(n?1)?(sin??0).sin?
证 当n=1,2时,有
D1?2cos??sin(n?1)?,
sin?
结论显然成立.
D2?2cos?11sin(2?1)??4cos2??1?,
2cos?sin? 现在假设结论对小于等于n-1时也成立,即
Dn?2?sin(n?2?1)?, D?sin(n?1?1)?
n?1sin?sin?成立.
现在将Dn按第一列展开,得
2cos?Dn?1?001?000?12cos?2cos??0??0?2cos?0?102cos??0000??2cos??1??(n?1)2cos?1??0000?12cos?(n?1)
?2cos??Dn?1?Dn?2sin(n?1?1)?sin(n?2?1)??sin?sin?2cos??sinn??sinn??cos??cosn?sin??sin?sinn??cos??cosn??sin??sin?sin(n?1)??. sin??2cos?问题得证.
6递推法计算行列式[3]
递推法是计算ｎ阶行列式的一种较实用的方法，是把ｎ阶行列式用同样形式的低阶行列式表示出来,对ｎ阶行列式Dn找出Dn与或Dn?1与Dn?2之间的一种依次递推关系,既递推公式,这里我们先给出降阶递推法的思想: 若Dn?pDn?1则有Dn?pn?1D1．
若Dn?pDn?1?qDn?1,n?2,q?0,设x2?px?q?0的根是?和?,则
????p,????q,于是有
Dn??Dn?1???Dn?1??Dn?2?, Dn??Dn?1???Dn?1??Dn?2?. 若???，则
1-1 Dn??n?（D2-?D1）-?n（D2-?D1）/(???);
?? 若???,则得到
Dn?1??Dn?2??n?3?D2??D1?, Dn??2Dn?2?2?n?2?D2??D1?; 依次推下去得到最终结果
Dn??n?1D1?(n?1)?n?2?D2??D1?. 下面给出一个例子 例4 证明
x0Dn??0bn00?x?1bn?1bn?2?b2b1?x?1x0?1??0000n?1n?bn?bn?1x???b1x?x,(n?2).
证明 将上面行列式按第一列展开得到如下
x?10xDn?x?00bn?1bn?2 ?bn?xDn?1
0??1?0bn?300?x?b2?10?00x?1?00?(?1)n?1bn
??100?x?1b1?x00 由此得到递推公式：Dn?bn?xDn?1.由此公式可递推得到
Dn?bn?xDn?1?bn?x(bn?1?xDn?2)?bn?bn?1x?x2Dn?2???bn?bn?1x???b1xn?1?xn.
问题得证.
下面给出一个例题
例5 (2003年福州大学研究生入学考试试题)对行列式
a?bab1a?bDn?0?01?00ab?0?000a?b?00???0?1a?b
an?1?bn?1,其中a?b. 证明:Dn?a?b 证明 Dn按第一列展开,再将展开后的第二项中n-1阶行列式按第一行展开得
n?2. Dn?(a?b)Dn?1?abD其中Dn?1和Dn?2是Dn的递推关系式.若按上面的递推关系从阶逐阶往低阶计算,则较复杂.因此可以将其变为
Dn?aDn?1?bDn?1?abDn?2?b(Dn?1?aDn?2),
或者
Dn?bDn?1?aDn?1?abDn?2?a(Dn?1?bDn?2).
然后反复用低阶代替高阶,则有
Dn?aDn?1?b(Dn?1?aDn?2)?b2(Dn?2?aDn?3)?b3(Dn?3?aDn?4)
n?2n?22???b(D?aD)?b[(a?b)?ab?a(a?b)]；21
同理得
Dn?bDn?1?a(Dn?1?bDn?2)?a2(Dn?2?bDn?3)?a3(Dn?3?bDn?4)
n?2n?22???a(D?bD)?a[(a?b)?ab?b(a?b)]. 21
由上面两式子可得
an?1?bn?1Dn?.
a?b7利用范德蒙德行列式计算行列式
范德蒙德行列式如下
1x1?x1n?11x2??1xn?n?1n?1x2?xn?1?i?j?n??x?x?.
ij 这种方法我们也称为公式法.因为有些情况下我们可以将一个复杂的行列式加一行一列构造成范德蒙德行列式,使它容易求值.例如下列行列式
1a11a2Dn??1ana12?a1n?12n?1a2?a2
2n?1an?an我们就可以给此行列式加一行一列构成范德蒙德行列式
1a11a21a3Dn?1??1an1xa12?a1n?22n?2a2?a22n?2a3?a3a1n?1n?1a2n?1a3a1nna2na3, nanxn2n?2an?anx2?xn?2n?1anxn?1从而便于计算.
下面再给出一个例子,计算方式是将原行列式化为范德蒙德行列式再计算. 例6 计算下列n+1阶行列式