8-1直线的方程与两条直线的位置关系
基础巩固强化
1.(文)(2012·浙江文，4)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0平行”的( )
A．充分不必要条件 C．充分必要条件 [答案] C
[解析] 本题考查了平面中两条直线平行的充要条件，由题意a2－1
知：＝≠，所以a＝1.
124
(理)(2011·湛江市调研)如果直线ax＋3y＋1＝0与直线2x＋2y－3＝0互相垂直，那么a的值等于( )
A．3 C．－3 [答案] C
[解析] 由两直线垂直可得2a＋3×2＝0，所以a＝－3，故选C. 2．(文)(2012·北京四中期中)已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0垂直，则m的值为( )
A．－8 C．10 [答案] D
4－m[解析] 由条件知，·(－2)＝－1，∴m＝2.
m＋2
(理)(2011·辽宁沈阳二中检测)“a＝2”是“直线2x＋ay－1＝0与直线ax＋2y－2＝0平行”的( )
B．0 D．2 1
B．－ 31D. 3
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
A．充要条件 C．必要不充分条件 [答案] B
B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
2a－1
[解析] 两直线平行的充要条件是＝≠，即两直线平行的
a2－2充要条件是a＝±2.故a＝2是直线2x＋ay－1＝0与直线ax＋2y－2＝0平行的充分不必要条件．
[点评] 如果适合p的集合是A，适合q的集合是B，若A是B的真子集，则p是q的充分不必要条件，若A＝B，则p、q互为充要条件，若B是A的真子集，则p是q的必要不充分条件．
3．(2011·皖南八校第三次联考)直线2x－y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是( )
A．x＋2y－1＝0 C．2x＋y－5＝0 [答案] C
[解析] 由题意可知，直线2x－y＋1＝0与直线x＝1的交点为(1,3)，直线2x－y＋1＝0的倾斜角与所求直线的倾斜角互补，因此它们的斜率互为相反数，直线2x－y＋1＝0的斜率为2，故所求直线的斜率为－2，所以所求直线方程是y－3＝－2(x－1)，即2x＋y－5＝0，选C.
[点评] 可由点的对称特征或特值法求解．设所求直线上任一点P(x，y)，P关于x＝1对称的点P1(2－x，y)在直线2x－y＋1＝0上，∴2(2－x)－y＋1＝0，∴2x＋y－5＝0.
4．(2011·山东青岛模拟)已知函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，当x<01
时，f(x)>1，方程y＝ax＋表示的直线是( )
a
B．2x＋y－1＝0 D．x＋2y－5＝0
[答案] C
[解析] ∵x<0时，ax>1，∴0
∴直线y＝ax＋的斜率a满足0
a1
在y轴上的截距>1.故选C.
a
5．已知点A(1，－2)，B(m,2)，且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是( )
A．－2 C．3 [答案] C
?1＋m??[解析] 由已知条件可知线段AB的中点，0?在直线x＋2y?2?
B．－7 D．1
－2＝0上，代入直线方程解得m＝3.
→→
[点评] 还可利用kAB⊥kl求解，或AB为l的法向量，则AB∥a，a＝(1,2)．
x32
6．(2013·辽宁省沈阳四校期中联考)若函数y＝－x＋1(0 3的图象上任意点处切线的倾斜角为α，则α的最小值是( ) πA. 45πC. 6[答案] D [解析] y′＝x2－2x＝(x－1)2－1， ∵0 3π 由题意知－1≤tanα<0，∴≤α<π，故选D. 4 7．(2012·绍兴模拟)已知0 1[答案] 8 [解析] 由题意知直线l1、l2恒过定点P(2,4)，直线l1的纵截距为1 4－k，直线l2的横截距为2k＋2，所以四边形的面积S＝×2×(4－ 2 2 πB. 63πD. 4 1122 k)＋×4×(2k＋2)＝4k－k＋8，故面积最小时，k＝. 28 8．(2012·佛山市高三检测)已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A、B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为________． 1[答案] 2 x [解析] 直线方程可化为＋y＝1，故直线与x轴的交点为A(2,0)， 2与y轴的交点为B(0,1)，由动点P(a，b)在线段AB上，可知0≤b≤1， 且a＋2b＝2，从而a＝2－2b，由ab＝(2－2b)b＝－2b2＋2b＝－2(b12111－)＋，由于0≤b≤1，故当b＝时，ab取得最大值. 2222 9．已知a、b为正数，且直线(a＋1)x＋2y－1＝0与直线3x＋(b32 －2)y＋2＝0互相垂直，则＋的最小值为________． ab [答案] 25 [解析] ∵两直线互相垂直， ∴3(a＋1)＋2(b－2)＝0， ∴3a＋2b＝1，∵a、b>0， 3232 ∴＋＝(＋)(3a＋2b) abab6b6a ＝13＋＋≥13＋2ab 6b6a ·＝25. ab ?6b＝6a， 等号成立时，?ab ?3a＋2b＝1. 32 故＋的最小值为25. ab 1 ∴a＝b＝， 5 10．(2012·西安模拟)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)． (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程； (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围． [解析] (1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零， ∴a＝2，方程为3x＋y＝0. 当直线不过原点时，由截距存在且均不为0， a－2得＝a－2， a＋1