2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）
数学（文科）试题参考答案及评分标准
说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几
种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答
未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，
就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题仅填对1个，则给3分．
11．0 12．?0,1? 13．35，10 14．62 15．2
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）
（本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）
??????f???tan???9??34D D C B C B A C B A 解：
???????????????????????????????1?分
??tan?tan34????????????????????????????3分 ???1?tantan34?3?11?3??2?3．??????????????????????
?????4分 （
???f???32
t?）???a3解
???法
?1
?：因为
4???????????????????????5分 n????44??tan????????????????????????
?????6分
?tan??2．???????????????????
?????7分
所以
sin?cos??2，即sin??2cos?． ①
因为sin2??cos2??1， ② 由
cos??2①
15、②解得
．??????????????????????????????9分
以
2所
c??????????????????????????????????o11分
?2?15?1??35．???????????????????????
????12分
解
???f???3t法?2：因为
3???????????????????????????5分 ?an?????4?44???tan????????????????????????
?????6分
?tan??2．???????????????????
?????7分
所
22以
cos2??cos??sin?????????????????????????????
?9分
?cos??sin?cos??sin?2222????????????????????????????10分
?1?tan?1?tan?22??????????????????????????????11分
?3??．?????????????????????????????12分 1?451?4 17．（本小题满分12分）
（本小题主要考查频率、频数、统计和概率等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）
（1）解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1，
所
1??a0以
?．?????????????????
?1分
解
a?0得
．??????????????????????????????????
60
分的频率为
?2分
（2）解：根据频率分布直方图，成绩不低于
1?10?(0.005?0.01)?0.85．????3分
由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为6人． ?????????????????????????5分
4?0?0.（3）解：成绩在?40,5?0分数段内的人数为40?0.05?2人，分别记为A，
B．????????6分
成绩在?90,10?0分数段内的人数为40?0.1?4人，分别记为C，D，E，
F．???????7分
若从数学成绩在?40,50?与?90,100?两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件有：?A,B?，?A,C?，?A,D?，?A,E?，?A,F?，?B,C?，?B,D?，?B,E?，
?B,F?，?C,D?，?C,E?，?C,F?，?D,E?，?D,F?，?E,F? 共15
种．????????????????9分
如果两名学生的数学成绩都在?40,50?分数段内或都在?90,100?分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在?40,50?分数段内，另一个成绩在?90,100?分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10． 记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，则事件M包含的基本事件有：
?????????A,B?，?C,D?，?C,E?，?C,F?，?D,E?，?D,F?，?E,F?共7种．
11分
所
P?M以
715所求概率为
??．????????????????????????????12分
18．（本小题满分14分）
（本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） （1）证明：因为平面PAC?平面ABC，平面PAC?平面ABC?AC， PD?平面PAC，
PD?AC，
所以PD?平面
ABC．???????????????????????????????2分
记AC边上的中点为E，在△ABC中，因为AB?BC，
所以BE?AC． 因为AB?BC?所
B?26，AC?4，
以
?6?以
2E．?????????????????????2?4分
所
S?ABC?1△ABC的面积
?AC?BE?22．????????????????????5分
2因为PD?2，
所
VP??13?A以
?SB三
1?C?23棱
P?锥P?ABC的体积
?42．????????7分 ?2D2ABC3（2）证法1：因为PD?AC，所以△PCD为直角三角形．
因为PD?2，CD?3，
所以PC?PD?CD?22P2?3?2213．??????9分
连接BD，在Rt△BDE中，
o因为?BED?90，BE?2，DE?1，
所以BD?BE?DE22??2?2AEDB?1?2 3．????10分
C由（1）知PD?平面ABC，又BD?平面ABC，
所以PD?BD．
o在Rt△PBD中，因为?PDB?90，PD?2，BD?3，
所
P?2以
2??2B．?????????????????????212分
在?PBC中，因为BC?所
B26，PB?7，PC?13，
以
??．??????????????????????????????C13分
?PBC所以为直角三
形．?????????????????????????????14分
角
证法2：连接BD，在Rt△BDE中，因为?BED?90o，BE?所以BD?BE?DE222，DE?1，
P???22?1?23．????8分 3，
在△BCD中，CD?3，BC?6，BD?所以BC2?BD2?CD2，所以BC?BD．??????10分 由（1）知PD?平面ABC， 因为BC?平面ABC， 所以BC?PD． 因为BD?PD?D，
AEDB
CBC?以平面
PBD．???????????????????????????????12分 因为PB?平面PBD，所以BC?PB．
?PBC所以为直角三角
形．?????????????????????????????14分
所
19．（本小题满分14分）
（本小题主要考查等差数列、等比数列、裂项求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识） （1）解：因为数列?an?是等差数列，
所
n?n?1?2以
an?1?1?a?，n?Sn?na1?d．????????????????????1分
依题意，有
??S5?70,?2??a7?a2a22.即
??5a1?10d?70,???????????????3分 ?2a?6d?a?da?21d.??1??1????1解得
a1?6，