d?4．????????????????????????????????5分
所以数列
?an?的通项公式为
an?4n?2（n?N*）．???????????????????6分 （
2
2）证明：由（1）可得
Sn?2n?4n．??????????????????????????7分
所1Sn???以
11??．??????????????????????n44?nn?2?22????8分
所以Tn?
?1?1?1?11?1?11?1?????????????4?3?4?24?4?35?1???n4??1?n1?1?1?1????1n4??n?1??2?1S1?1S2?1S3?L?1Sn?1?1Sn
?????9分
?
?38?1?11??4?n?1n???．???????????????????????????102?1?1111????4?2n?1n??? 2?分
因38为
Tn?38??1????n?4n?1??0?1?，
12所以
Tn?．??????????????????11分
1?1??4?n?1n?1???0?3因为Tn?1?Tn?，所以数列
?Tn?是递增数
列．????????????12分
所
Tn?T1?16以
．?????????????????????????????????
13分 所
以
16?Tn?38．??????????????????????????????????
14分
20．（本小题满分14分）
（本小题主要考查函数的性质、导数、函数零点、不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力） （
1
）
解
：
???因为
f(x)??x?ax?b32，所以
f?(?x?)2?3?x?2a??2a?．????????x3xx1分 3?当a?0时，f?(x?)，函数
f(x)没有单调递增区
间；?????????????????2分
当a?0时，令f?(x)?0，得0?x?故
f(x)2a3．
递
增
区
间
为
的单调
?2??0,a?；?????????????????????????3分 ?3?当a?0时，令f?(x)?0，得故
f(x)2a3?x?0．
的单调递增区间为
?2?a,0??．?????????????????????????4分 3??综上所述，当a?0时，函数f(x)没有单调递增区间；
??2?a?； 3?当a?0时，函数f(x)的单调递增区间为?0,当
a?0时，函数f(x)的单调递增区间为
?2??a,0?．??????????????5分 ?3?
a??3,4?时，f(x)的单调递增区间为?0,（2）解：，由（1）知，
??2?单调递减区间为???,0?a?，3?和??2?a,???． ?3??????????
????6分
所
以
函
数
f(x)在x?0处取得极小值
f?0??b，????????????????????7分
函数
3f(x)在
x?2a3处取得极大值
?2a?4af??b．??????????????????8分 ??27?3?由于对任意a??3,4?，函数f(x)在R上都有三个零点，
?f?0?????2a???0.?f?3???0,所以即
?b?0,?3??????????????????????????10分 ?4a?b?0.??27解?4a3得
?b?0．????????????????????????????????
2711分
因
为
对
任
意
a??3?,4，b??4a327恒成立，所以
3?4a3?4?3b???????4．??????13分 ?27?27?max所以实数b的取值范围是
??4,0?．??????????????????????????14分
21．（本小题满分14分）
（本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） （
1
）
解
：
依
题
意
可
得
A(?1，
B(1,0)．?????????????????????????1分
设双曲线C的方程为x?2yb22?1?b?0?，
因为双曲线的离心率为5，所以所x?21?b12?5，即b?2．
C以
2双曲线的方程为
y4?1．??????????????????????????3分
（2）证法1：设点P(x1,y1)、T(x2,y2)（xi?0，yi?0，i?1,2），直线AP的斜率为k（k?0），
则
y?(?直线AP的方程为
，???????????????????????????4分 kx立
方
程
组
联
?y?k?x?1?,???????????????????????????????5分 ?2y2?1.?x??4整理，得?4?k2?x2?2k2x?k2?4?0，
4?k4?k22解得x??1或x?．所以
x2?4?k4?k22．??????????????????????6分
理
可
得
，
同x1?4?k4?k22．???????????????????????????????7分
以
所
x1?x2?1．??????????????????????????????????
?8分
证法2：设点P(x1,y1)、T(x2,y2)（xi?0，yi?0，i?1,2）， 则
kAP?y1x1?1，
kAT?y2x2?1．????????????????????????????4分
因为
kA?k22P，所以
y1x1?1?y2x2?1，即
y122?x1?1??y2?x2?1?．??????????????5分
因为点P和点T分别在双曲线和椭圆上，所以x1?即
y2?4?1?x2222y142?1，x2?2y242?1．
y1?4?x1?1?22，
?．?????????????????????????6分
以
4?x1?1?2所
?x1?1?2?4?1?x222??x2?1?，即
x1?1x1?1?1?x2x2?1．????????????????????7分
以
所
x1?x2?1．??????????????????????????????????
?8分
证
y1x1?1法3：设点
P(x1,y1)，直线AP的方程为
y?(x?1)，???????????????4分
联立方程组
y1?y??x?1?,?x?1?1????????????????????????????5分 ?2?2yx??1.??422?x2?2y12x?y12?4(x1?1)2?0， 整理，得?4(x?1)?y11??解
x?4(x1?1)?y14(x1?1)?y12222得x??1或
．?????????????????????????6分