步进电机的振荡、不稳定以及控制
摘要：本文介绍了一种分析永磁步进电机不稳定性的新颖方法。结果表明，该种电机有两种类型的
不稳定现象：中频振荡和高频不稳定性。非线性分叉理论是用来说明局部不稳定和中频振荡运动之间的关系。一种新型的分析介绍了被确定为高频不稳定性的同步损耗现象。在相间分界线和吸引子的概念被用于导出数量来评估高频不稳定性。通过使用这个数量就可以很容易地估计高频供应的稳定性。此外，还介绍了稳定性理论。一个通常的分析方法是基于反馈理论的稳定问题。结果表明，中频稳定度和高频稳定度可以提高状态反馈。
关键词：步进电机，不稳定，非线性，状态反馈
1、介绍
步进电机是将数字脉冲输入转换为模拟角度输出的电磁增量运动装置。其内在的步进能力允许没有反馈的精确位置控制。也就是说，他们可以在开环模式下跟踪任何步阶位置，因此执行位置控制是不需要任何反馈的。步进电机提供比直流电机每单位更高的峰值扭矩;此外，它们是无电刷电机，因此需要较少的维护。所有这些特性使得步进电机在许多位置和速度控制系统的选择中非常具有吸引力，例如如在计算机硬盘驱动器和打印机，代理表，机器人中的应用等。
尽管步进电机有许多突出的特性，他们仍遭受振荡或不稳定现象。这种现象严重地限制其开环的动态性能和需要高速运作的适用领域。这种振荡通常在步进率低于1000脉冲/秒的时候发生，并已被确认为中频不稳定或局部不稳定[1]，或者动态不稳定[2]。此外，步进电机还有另一种不稳定现象，也就是在步进率较高时，即使负荷扭矩小于其牵出扭矩，电动机也常常不同步。该文中将这种现象确定为高频不稳定性，因为它比在中频振荡现象中产生的频率以更高的频率出现。高频不稳定性不像中频不稳定性那样被广泛接受，而且还没有一个方法来评估它。
中频振荡已经被广泛地认识了很长一段吋问，但是，一个完整的了解还没有牢固确立。这可以归因于支配振荡现象的非线性是相当困难处理的。大多数研究人员在线性模型基础上分析它[1]。尽管在许多情况下，这种处理方法是有效的或有益的，但为了更好地描述这一复杂的现象，在非线性理论基础上的处理方法也是需要的。例如，基于线性模型只能看到电动机在某些供应频率下转向局部不稳定，并不能使被观测的振荡现象更多深入。事实上，除非有人利用非线性理论，否则振荡不能评估。
因此，在非线性动力学上利用被发展的数学理论处理振荡或不稳定是很重要的。值得指出的是，Taft和Gauthier[3],还有Taft和Harned[4]使用的诸如在振荡和不稳定现象的分析中的极限环和分界线之类的数学概念，并取得了关于所谓非同步现象的一些非常有启发性的见解。尽管如此，在这项研究中仍然缺乏一个全面的数学分析。
本文的第一部分讨论了步进电机的稳定性分析。结果表明，中频振荡可定性为一种非线性系统的分叉现象(霍普夫分叉)。本文的贡献之一是将中频振荡与霍普夫分叉联系起来，从而霍普夫理论从理论上证明了振荡的存在性。高频不稳定性也被详细讨论了。并介绍了一种新型的量来评估高频稳定。这个量是很容
易计算的，而且可以作为一种标准来预测高频不稳定性的发生。在一个真实电动机上的实验结果显示了该分析工具的有效性。
本文的第二部分通过反馈讨论了步进电机的稳定性控制。一些设计者已表明， 通过调节供应频率[5]，中频不稳定性可以得到改善。特别是Pickup和Russell[6,7]都在频率调制的方法上提出了详细的分析。在他们的分析中，雅可比级数用于解决常微分方程和一组数值有待解决的非线性代数方程组。此外，他们的分析负责的是双相电动机，因此，他们的结论不能直接适用于我们需要考虑三相电动机的情况。在这里，我们提供一个没有必要处理任何复杂数学的更简洁的稳定步进电机的分析。在这种分析中，使用的是d-q模型的步进电机。由于双相电动机和三相电动机具有相同的d-q模型，因此，这种分析对双相电动机和三相电动机都有效。迄今为上，人们仅仅认识到用调制方法来抑制中频振荡。本文结果表明，该方法不仅对改善中频稳定性有效，而且对改善高频稳定性也有效。
2、动态模型的步进电机
本文件中所考虑的步进电机由一个双相或三相绕组的跳动定子和永磁转子组成。一个极对三相电动机的简化原理如图1所示。步进电机通常是由被脉冲序列控制产生矩形波电压的电压源型逆变器供给的。这种电动机用本质上和同步电动机相同的原则进行作业。步进电机主要作业方式之一是保持提供电压的恒定以及脉冲频率在非常广泛的范围上变化。在这样的操作条件下，振动和不稳定的问题通常会出现。
图1.三相电动机的图解模型
用q-d框架参考转换建立了一个三相步进电机的数学模型。下面给出了三相绕组电压方程
va?Ria?L*vb?Rib?L*diadibdicd?pma?M*?M*?， dtdtdtdtdibdiadicd?pmb?M*?M*?， dtdtdtdtdicdiadibd?pmc?M*?M*?，（1） dtdtdtdt vc?Ric?L*其中R和L分别是相绕组的电阻和感应线圈，并且M是相绕组之间的互感线圈，?pma,?pmb和?pmc是应归于永磁体的相的磁通，且可以假定为转子位置的正弦函数如下
（2）
其中N是转子齿数。本文中强调的非线性由上述方程所代表，即磁通是转子位置的非线性函数。
使用q-d转换，将参考框架由固定相轴变换成随转子移动的轴(参见图2)。矩阵从a,b,c框架转换成q,d框架变换被给出了[8]
?2??2?????cosN??cosN???????2?cos?N??33?????（3） Tr??2??2?????3?sin?N??sin?N??sin?N??????33??????
例如，给出了q,d参考里的电压
?va??vq????Trvb（4） ?vd???????vc?? 在a,b,c参考中，只有两个变量是独立的?ia?ib?ic?0? 因此，上面提到的由三个变量转化为两个变量是允许的。在电压方程[1]中应用上述转换，在q,d框架中获得转换后的电压方程为
diqvq?Riq?L1*?NL1ia??N?1?dt（5）
didvd?Rid?L1*?NL1iq?dt b
? q ? a
c d 图2.a,b,c和q,d参考框架
其中L1?L?M,且?是电动机的速度。
有证据表明，电动机的扭矩有以下公式
T?3N?1iq，（6） 2转子电动机的方程为
J*d?3?*N?1iq?Bf??T1，（7） dt2如果Bf是粘性摩擦系数，T1代表负荷扭矩（在本文中假定为恒定），为了构成完整的电动机的状态方程，我们需要另一种代表转子位置的状态变量。为此，通常使用满足下列方程的所谓的负荷角?[8]
d?????0，（8） dt其中?0是电动机的稳态转速。方程(5),(7),和(8)构成电动机的状态空间模型，其输入变量是电压vq和vd如前所述，步进电机由逆变器供给，其输出电压不是正弦电波而是方波。然而由于相比正弦情况下非正弦电压不能很大程度地改变振荡特性和不稳定性（如将在第3部分显示的，振荡是由于电动机的非线性)，为了本文的目的我们可以假设供给电压是正弦波。根据这一假设，我们可以得到如下的vq和vd。
vq?vmcos?N??vd?vmsin?N??，（9）
其中vm是正弦波的最大值。上述方程,我们已经将输入电压由时间函数转变为状态函数，并且以这种方式我们可以用自控系统描绘出电动机的动态，如下所示。这将有助于简化数学分析。
根据方程(5),(7),和(8),电动机的状态空间模型可以如下写成矩阵式
?F?X,u??AX?Fn(X)?Bu， (10)
其中X??iqid???,u???1T1?定义为输入，且?1?N?0是供应频率。输入矩阵B被定义为
TT?0?0?B??0?1??N?矩阵A是F(.)的线性部分，如下
0??0?1 ??J?0??RN?1?0???L1RL1?0?0L1A??3Bf0??N?1J?2J01??00??0?? 0?0??? Fn?X?代表了F(.)的线性部分.如下
vm?????Nid??cosN???L1??vmFn?X???Niq??sin?N???
L1??0????0??输入端u独立于时间，因此，方程(10)是独立的，
在F(X,u)中有三个参数，它们是供应频率?1，电源电压幅度vm和负荷扭矩T1这些参数影响步进电机的运行情况。在实践中，通常用这样一种方式来驱动步进电机，即用因指令脉冲而变化的供应频率?1来控制电动机的速度，而电源电压保持不变。因此，我们应研究参数?1的影响。
3、分叉和中频振荡
设???0得出方程（10)的平衡 Iq?2?Bf?0?T1?, (11) 3N?1z2Iq?RN?1?0N?0????arccos?2m?,(12)
vmzz2Iq?RN?1?0?2m?,(13) ????arccosvmz Id??vmsin?N?0??NL1?0Iq?/R, (14)
这里，m?0,1,2?这个变量Z作为传输阻抗表达式为
z?R2???1L1?2, (15)
表1 三相步进电机的参数
N 50
R L1 ?1
Bf J0.285? 1.05mH
1.77*10?3vs
1.9*10?3Nms/rad
400gcm2
3.14v
vm
且?是它的相角,
??arctan???1?L1??, (16) R?方程(12)和(13)显示存在着多重均衡，这意味着这些平衡永远不能全局稳定。人们可以看到，如方程(12)和(13)所示有两组平衡。第一组由方程(12)对应电动机的实际运行情况来代表。第二组由方程(13)总是不稳定且不涉及到实际运作情况来代表。在下面，我们将集中精力在由方程(12)代表的平衡上。
这些平衡的稳定性，可以检查的基础上的线性化的方程（10）关于平衡点，这是由
由于，所以这里Al为
假定所有的本征值的所有非零的部分，然后在方程（10）中定义的系统是稳定的，如果只有当所有这些特征值有负的实部[ 9,10 ]。
对于一个三相步进电机的参数如表1所示，计算的特征值的一些
基于平衡第一组在表2中给出。特
征值也可以被分为两组：一组用P1和P2，对应于电机的电气子系统，P3和P4给另一组对应的机械子系统。当所有这些特征值的实部是负的，平衡是稳定的，被称为吸引子。这表明，电机是在稳定状态下运行的速度=
/N。如表
2所示，若P1和P2都接近到一定范围内，对于所有的始终是稳定的。
然而，P3和P4的实数部分在系已被许多研究者分析。
一定范围内是正的。这正是P3和P4成为观察中频振荡的现象，其正相关