表2 不同
所对应的Al的特征值
图3 不同
对应下的p3的轨迹
对于这一点，我们没有提出任何新的贡献。基于以上线性化模型的稳定性分析是被许多研究者所做过。那么接下来，我们将用分叉理论对这个问题提出新的意见。
分叉是非线性系统中的一个重要现象。它被定义为在一个动态的系统中的一些控制参数变化时，发生在定性结构的轨迹变化。如图3所示，在化。在
值较大的时候，本征值
的值改变的同时，本征值P3（P4）的实部发生从负到正的变
P3（P4）的实部发生从正到负的变化。这些变化的特征值意味着一些发生
在电动机特征的重要变化。这些是霍普夫分叉现象。在物理上，它们涉及到中频振荡。
从图3中，我们看到了一些
，对应P3（P4）的实部为零。对于这些
，其
=
与
=
，通
过检查Al特征值，我们不能得出系统（10）稳定性的结论。这个问题在文献中被忽略了。然而，操作点
与
在理论上非常重要，因为它们代表了一个平衡点。这种平衡的分支称为霍普夫分叉[9]，它代表
的是一种“分叉”点平衡的周期运动。用于步进电机的霍普夫分叉，如图4所示。
由下面所示，
与
决定中等频率的振荡发生的范围。虽然当
<
<
时,该线性化模型告诉
我们，系统（10）是局部不稳定的，然而， 这意味着在物理方面不能线性化方法来解决，基于霍普夫分叉定理为分析这个问题提供了有用的信息。
图4 步进电机的霍普夫分叉
应该来说，霍普夫定理是分析非线性系统的一个重要工具，但还没有被用来分析中频振荡。霍普夫定理是建立在高维系统的极限环的存在性的一些可靠的方法之一，是局部不稳定和周期性振荡至关重要的联系。有许多版本的霍普夫定理（例如，[ 9，11–13 ]），下面说明的版本是出自[9]。