2014年六年级数学思维训练：数论综合一
一、兴趣篇
1．如果某整数同时具备如下3条性质： ①这个数与1的差是质数；
②这个数除以2所得的商也是质数； ③这个数除以9所得的余数是5．
那么我们称这个整数为幸运数．求出所有的两位幸运数． 2．一个五位数8□25□，空格中的数未知，请问： （1）如果该数能被72整除，这个五位数是多少？ （2）如果该数能被55整除，这个五位数是多少？
3．在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有 个． 4．一个各位数字均不为0的三位数能被8整除，将其百位数字、十位数字和个位数字分别划去后可以得到三个两位数（例如，按此方法由247将得到47、27、24）．已知这些两位数中一个是5的倍数，另一个是6的倍数，还有一个是7的倍数．原来的三位数是多少？ 5．26460的所有约数中，6的倍数有多少个？与6互质的有多少个？
6．一个自然数N共有9个约数，而N﹣1恰有8个约数，满足条件的自然数中，最小的和第二小的分别是多少？
7．一个自然数，它的最大的约数和次大的约数的和是111，这个自然数是 ． 8．有一个算式6×5×4×3×2×l．小明在上式中把一些“×”换成“÷”，计算结果还是自然数，那么这个自然数最小是多少？
9．一个两位数分别除以7、8、9，所得余数的和为20．问：这个两位数是多少？
10．信息在战争中是非常重要的，它常以密文的方式传送．对方能获取密文却很难知道破译密文的密码，这样就达到保密的作用．有一天我军截获了敌军的一串密文：A3788421C，字母表示还没有被破译出来的数字．如果知道密码满足如下条件：
①密文由三个三位数连在一起组成，每个三位数的三个数字互不相同； ②三个三位数除以12所得到的余数是三个互不相同的质数； ③三个字母表示的数字互不相同且不全是奇数． 你能破解此密文吗？
二、解答题（共12小题，满分0分）
11．已知×是495的倍数，其中a、b、c分别代表不同的数字．请问：三位数是多少？
12．11个连续两位数乘积的末4位都是0，那么这11个数的总和最小是多少？
13．有一个算式9×8×7×6×5×4×3×2×l．小明在上式中把一些“×”换成“÷”，计算结果还是自然数，那么这个自然数最小是多少？
14．有15位同学，每位同学都有个编号，他们的编号是1号到15号．1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号接着说：“这个数能被3整除”…依此下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除．1号一一作了验证：只有两个同学（他们的编号是连续的）说得不对，其余同学都对．问：
（1）说的不对的两位同学他们的编号是哪两个连续的自然数？
（2）如果1号同学写的自然数是一个五位数，那么这个自然数为多少？
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15．有2008盏灯，分别对应编号为1至2008的2008个开关．现在有1至2008的2008个人来按动这些开关．已知第1个人按的开关的编号是1的倍数（也就是说他把所有开关都按了一遍），第2个人按的开关的编号是2的倍数，第3个人按的开关的编号是3的倍数．依此做下去，第2008个人按的开关的编号是2008的倍数，如果刚开始的时候，灯全是亮着的，那么这2008个人按完后，还有多少盏灯是亮着的？ 16．狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳跳一次．比赛途中，从起点开始每隔
米，黄鼠狼每次跳
米，它们每秒钟都只
米设有一个陷井，当它们之中有一个掉进陷井时，
另一个跳了多少米？
17．一个偶数恰有6个约数不是3的倍数，恰有8个约数不是5的倍数．请问：这个偶数是多少？
18．一个合数，其最大的两个约数之和为1164．求所有满足要求的合数． 19．已知a与b是两个正整数，且a＞b．请问：
（1）如果它们的最小公倍数是36，那么这两个正整数有多少种情况？ （2）如果它们的最小公倍数是120，那么这两个正整数有多少种情况？
20．已知a与b的最大公约数是14，a与c的最小公倍数是350，b与c的最小公倍数也是350．满足上述条件的正整数a、b、c共有多少组？
21．已知两个连续的两位数除以5的余数之和是5，除以6的余数之和是5，除以7的余数之和是1．求这两个两位数．
22．在一个圆圈上有几十个孔（不到100个），如图．小明像玩跳棋那样，从A孔出发沿着逆时针方向，每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔．他先试着每隔2孔跳一步，结果只能跳到B孔．他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔．最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔．你知道这个圆圈上共有多少个孔吗？
三、解答题（共8小题，满分0分）
23．有6个互不相同且不为0的自然数，其中任意5个数的和都是7的倍数，任意4个数的和都是6的倍数．请问：这6个数的和最小是多少？ 24．设N=301×302×…×2005×2006，请问：
（1）N的末尾一共会出现多少个连续的数字“0”？
（2）用N不断除以12，直到结果不能被12整除为止，一共可以除以多少次12？
25．老师告诉贝贝和晶晶一个小于5000的四位数，这个四位数是5的倍数．贝贝计算出它与5！的最小公倍数，晶晶计算出它与10！的最大公约数，结果发现贝贝的计算结果恰好是晶晶的5倍．锖问：这个四位数是多少？
26．一个正整数，它分别加上75和48以后都不是120的倍数，但这两个和的乘积却能被120整除．这个正整数最小是多少？
27．a、b、c是三个非零自然数．a和b的最小公倍数是300，c和a、c和b的最大公约数都是20，且a＞b＞c．请问：满足条件的a、b、c共有多少组？
28．有一类三位数，它们除以2、3、4、5、6所得到的余数互不相同（可以含0）．这样的三位数中最小的三个是多少？
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29．有一个自然数除以15、17、19所得到的商与余数之和都相等，并且商和余数都大于1，那么这个自然数是多少？
30．有4个互不相同的三位数，它们的首位数字相同，并且它们的和能被它们之中的3个数整除，请写出这4个数．
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2014年六年级数学思维训练：数论综合一
参考答案与试题解析
一、兴趣篇
1．如果某整数同时具备如下3条性质： ①这个数与1的差是质数；
②这个数除以2所得的商也是质数； ③这个数除以9所得的余数是5．
那么我们称这个整数为幸运数．求出所有的两位幸运数．
【分析】先找出满足（3）的这个数除以9的余数是5，即找出小于100的9的倍数减去5即可，然后再从（3）中找出满足（1）的即这个数与1的差是质数，最后在从满足（1）的数中找出满足（2）的这个数除以2所得的商也是质数，据此解答．
【解答】解：100以内9的倍数有：9、18、27、36、45、54、63、72、80、81、90、99， 满足（3）这个数除以9的余数是5：14、23、32、41、50、59、68、77、86、95 满足（1）这个数与1的差是质数：14、32、68 满足（2）这个数除以2所得的商也是质数：14 答：这个幸运数是14．
2．一个五位数8□25□，空格中的数未知，请问： （1）如果该数能被72整除，这个五位数是多少？ （2）如果该数能被55整除，这个五位数是多少？ 【分析】（1）因为72=8×9，根据被8或9整除数的特征分析探讨得出答案即可； （2）因为55=5×11，根据被8或9整除数的特征分析探讨得出答案即可． 【解答】解：（1）因为72=8×9，
所以8+□+2+5+□=15+2×□能被9整除，符合条件的只有6，而256恰好能被8整除， 所以这个五位数为86256．
（2）因为55=5×11，
所以能被5整除，末尾只能是5和0，8+□+2﹣（5+□）=5+□﹣□能被11整除， 当末尾是5时，没有答案； 当末尾是0时，
这个五位数为85250．
3．在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有 18 个．
【分析】能被11整除的数的性质：把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0），那么，原来这个数就一定能被11整除．
结合题意，只有两种情况：①奇数位数字和=12，偶数位数字和=1．②奇数位数字和=1，偶数位数字和=12．
【解答】解：①奇数位数字和=12，偶数位数字和=1，为3190，3091，4180，4081共4种可能．
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②奇数位数字和=1，偶数位数字和=12．为1309，1408，1507，1606，1705，1804，1903；319，418，517，616，715，814，913共14种可能． 共4+14=18种． 故答案为：18．
4．一个各位数字均不为0的三位数能被8整除，将其百位数字、十位数字和个位数字分别划去后可以得到三个两位数（例如，按此方法由247将得到47、27、24）．已知这些两位数中一个是5的倍数，另一个是6的倍数，还有一个是7的倍数．原来的三位数是多少？ 【分析】设这个三位数的百位数为a，十位数字为b，个位数字为c，根据被8整除数的特征和被5、6、7整除的数的特征分析探讨得出答案即可．
【解答】解：设这个三位数的百位数为a，十位数字为b，个位数字为c，
因为三位数能被8整除，所以c为非0偶数，三个两位数中ab，bc，ac中bc与ac均为以c结尾的数字，而c为非0偶数，所以能是5的倍数的就只能是ab了，所以b=5， 因为三位数能被8整除，所以设100a+10×5+c=8k（k为整数），得C+50=4（25a+2k）为4的倍数，所以c只能为2或6，当c=2时，bc=52既不是6的倍数也不是7的倍数， 所以c=6，bc=56是7的倍数，所以ac是6的倍数，所以a是6， 所以原来的三位数是656．
5．26460的所有约数中，6的倍数有多少个？与6互质的有多少个？
【分析】首先将26460分解质因数，再进一步根据约数和的计算方法，找出含有6的质因数和不含6的质因数的数的个数即可．
232
【解答】解：26460=2×3×5×7，
26460所有约数中6的倍数的数，即求26460÷6=4410的所有约数
22
4410=2×3×5×7， 故约数个数为（1+1）（2+1）（1+1）（2+1）=36个， 也就是6的倍数有36个；
与6互质，即约数中不含质因子2和3
2
即所求为5×7=245的所有约数， 故与6互质的有 （1+1）（2+1）=6个， 也就是与6互质的有6个．
6．一个自然数N共有9个约数，而N﹣1恰有8个约数，满足条件的自然数中，最小的和第二小的分别是多少？
【分析】因为9=3×3=9×1，所以可以把N看做只有一个质因数或两个质因数，进一步从最小的质因数考虑，逐步探讨得出答案即可． 【解答】解：根据约数个数公式可知：
n
①当N=a，即N只有一个质因数时， n+1=9，所以n=8，
8
这样最小的N=2=256， N﹣1=255=3×5×17，
恰好有（1+1）×（1+1）×（1+1）=8个约数，符合题意；
nm
②当N=a×b，即N有两个质因数时， （n+1）（m+1）=9， 所以n=m=2，
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