所以这个自然数是：15×72+2=1082． 答：这个自然数是1082．
30．有4个互不相同的三位数，它们的首位数字相同，并且它们的和能被它们之中的3个数整除，请写出这4个数．
【分析】设这四个数分别为m，n，p，q，且它们的和能被其中的n，p，q整除，n＜p＜q；则
=
=N（N为自然数），即
=N﹣1；因为它们的首位数字相同，所=4；同理，可得
，
，
以N﹣1应该大约等于3，又因为n＜p＜q，所以
解得：4p=5n=3q，由5n=3q，可得2n=3（q﹣n），因为q和n的首数字相同，所以q﹣n的
最大值为99，即n最大值为148，又因为4p=5n=3q，可得n能被12整除，求出n的值，进而求出m、p、q的值即可．
【解答】解：设这四个数分别为m，n，p，q，且它们的和能被其中的n，p，q整除，n＜p＜q， 则即
==N﹣1；
=N（N为自然数），
因为它们的首位数字相同，
所以N﹣1应该大约等于3， 又因为n＜p＜q， 所以
=4；
，
，
同理，可得
解得：4p=5n=3q，
由5n=3q，可得2n=3（q﹣n）， 因为q和n的首数字相同，
所以q﹣n的最大值为99，即n最大值为148， 又因为4p=5n=3q，
可得n能被12整除，故n可以为108，120，132，144；可得p为135，150，…，q为180，200，…
所以n只能取108，从而p=135，q=180，m=117， 即这四个数是108，117，135，180． 答：这四个数是108，117，135，180．
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参与本试卷答题和审题的老师有：xiaosh；73zzx；齐敬孝；春暖花开；lqt；pengh；奋斗；duaizh；wdzyzlhx（排名不分先后） 菁优网
2016年5月22日
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考点卡片
1．数字问题 【知识点归纳】
1．数字问题的主要题型：
数字问题是研究有关数字的特殊结构、特殊关系以及数字运算中变换问题的一类问题，相对来说，难度较大．通常情况下题目会给出某个数各个位数关系，求这个数为多少． 2．核心知识 （1）数字的拆分
是将一个数拆分成几个因数相乘或者相加的形式，经常需要综合应用整除性质、奇偶性质、因式分解、同余理论等． （2）数字的排列与位数关系
解答数字的排列与位数关系时，经常需要借助于首尾数法进行考虑、判断，同时可以利用列方程法、代入法、假设法等一些方法，进行快速求解．
【命题方向】 常考题型：
例1：在1到400的整数中，至少能被3和5中的一个数整除的数有（ ）个5． A、213 B、187 C、133 D、80
分析：先求出400里面有几个3，就是1﹣400中有多少个数能被3整除，再求出400里面有几个5，就是1﹣400中有多少个数能被5整除；能同时倍3和5整除的数是15的倍数；求出400里面有多少个15，就是能同时被3和5整除的数，然后用3的倍数的个数加上5的倍数的个数然后减去15的倍数的个数即可． 解：1到400中能被3整除有：400÷3≈133（个）； 1到400中能被5整除有：400÷5=80（个）；
1到400中既能被3也能被5整除有：400÷（3×5）≈26（个）；
在1到400的整数中，至少能被3和5中的一个数整除的数：133+80﹣26=187（个）； 故选：B．
点评：本题要注意能同时被3和5整除的数，是重复计算的数字．
例2：自然数12321，90009，41014 …有一个共同特征：它们倒过来写还是原来的数，那么具有这种“特征”的五位偶数有 400 个．
分析：倒过来写还是原来的数，具有这种“特征”的五位偶数万位和个位有2，4，6，8这4种选择；千位和十位有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10种选择；百位有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10种选择．可以组成倒过来写还是原来的数具有这种“特征”的五位偶数则有4×10×10=400个．
解：根据分析，倒过来写还是原来的数，具有这种“特征”的五位偶数有4×10×10=400个． 答：具有这种“特征”的五位偶数有400个． 故答案为：400．
点评：根据这种数的特征，分析各对称数位会出现的数字可能，把出现可能的种数相乘即可得这种特征数的个数．
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2．奇偶性问题 【知识点归纳】 主要用到的知识点：
1．奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数； 奇数±偶数=奇数；偶数±奇数=奇数．
2．奇数个奇数的和（或差）为奇数，偶数个奇数的和（或差）为偶数，任意多个偶数的和（或差）为偶数．
3．奇数×奇数=奇数；偶数×偶数=偶数；奇数×偶数=偶数．
4．若干个数相乘，其中有一个因数是偶数，则积为偶数；如果所有的因数都是奇数，则积为奇数．
5．偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1．
【命题方向】 常考题型：
例1：一个偶数，各个数位上的数字之和是24，这个数最小是 798 ．
分析：根据自然数的组成规律可和，一个自然数位数越少，其值就越小，由于这个偶数的各位数之和为24，24÷2=12，24÷3=8，所以这个自然数位数最少可为3位数．由于三个数位数字的平均数为8，则其则这三个数可为8，或7、8、9．而要求这个数最小可为几，一个数高位上的数越小，其值就越小，所以其百位可为7，由于是偶数，个数为8，由此可知，这个数为798．
解：由于这个偶数的各位数之各为24，24÷2=12，24÷3=8， 所以这个自然数位数最少可为3位数．
三个数位数字的平均数为8，则其则这三个数可全为8，或7、8、9． 要求这个数最小可为几，
所以其百位可为7，由于是偶数，个数为8， 由此可知，这个数为798． 故答案为：798．
点评：了解自然数的组成规律及数位知识是完成本题的关键．
例2：如果a，b，c是三个任意整数，那么
（ ）
A、都不是整数 B、至少有一个整数 C、至少有两个整数 D、都是整数
分析：根据偶数与奇数的定义可知，如果它们的和的是偶数则除以2的商为整数，如果它们的和为奇数，则它们数和除以2的商不为整数，因此完成本题要根据a，b，c的奇偶性的不同情况来判断它们数和的奇偶性，从而得出它们的数和除以2时，商是否是整数． 解：当a，b，c都为偶数时，则a+b，a+c，c+b的和为偶数， 那么
都为整数；
当a，b，c都为奇数时，则a+b，a+c，c+b的和为偶数， 那么
都为整数；
当a，b，c中有一个偶数，两个奇数时，a+b，a+c，c+b的和中有两个为奇数，一个为偶数， 那么
只有一个为整数；
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当a，b，c中有一个奇数，两个偶数时，a+b，a+c，c+b的和中有两个为奇数，一个为偶数， 那么
只有一个为整数；
中至少有一个为整数．
所以，如果a，b，c是三个任意整数，那么
故选：B．
点评：完成本题要在了解数和的奇偶性的基础上完成：偶数+偶数=偶数，奇数+奇数=偶数，偶数+奇数=奇数．
3．质数与合数问题 【知识点归纳】
1、巧记100以内的质数：2，3，5，7又11；13和17；19，23，29；31 和37；41，43，47；53，59，61；67和71；73， 79，83；89和97．
2、“2”是最小的质数，也是唯一的偶质数；“3”是最小的奇质数． 3、“1”这个数既不是质数也不是合数．
【命题方向】 常考题型：
例1：已知两个质数的平方差等于21，那么，这两个质数的平方和等于（ ） A、22 B、24 C、25 D、29
分析：除了2以外的所有质数都是奇数，它们的平方也都是奇数，那么平方差是偶数，已知平方差是21，所以其中一个质数必然是2，由此算出另一个质数的平方，再求出这两个质数的平方和即可选择．
解：已知两个质数的平方差等于21， 所以其中一个质数必然是2，
2
21+2=25，
2
所以另一个质数的平方是21+2=25，
2
这两个质数的平方和25+2=29， 故答案为：29． 点评：此题考查2的特殊性和除了2以外的质数都是奇数的平方仍是奇数，它们的平方差是偶数．
例2：a、b、c是100以内的3个质数，使得a+b=c成立的不同质数算式共有（ ）个． A、6 B、7 C、8 D、9
分析：2是质数中唯一的偶数，其它都是奇数；奇数+奇数=偶数；奇数+偶数=奇数；所以其中一个加数必是2；再找出两个质数的差是2的情况即可． 解：这样的算式有： 2+3=5； 2+5=7； 2+11=13； 2+17=19； 2+29=31； 2+41=43；
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