8．带余除法 【知识点归纳】
如：16÷3=5…1，即16=5×3+1，此时，被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数的除法．
一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b，使得a=q×b+r．
当r=0时，我们称a能被b整除
当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）．
【命题方向】 常考题型：
例1：所有被4除余1的两位数的和为（ ）
A、1200 B、1208 C、1210 D、1224 E、1229
分析：本题中，由整除的意义可知，除以4后余1的最小两位数是：12+1=13．除以4后余1的最大两位数是：96+1=97．由此我们想除以4后余1的两位数一共有多少个？即所有除以4后余1的数组成的数列：13+17+21+…+97的项数有多少？由题意知数列的公差是4，那么计算项数得：（97﹣13）÷4+1=22．然后利用公式求它们的和就行了． 解：除以4后余1的最小两位数是：12+1=13， 除以4后余1的最大两位数是：96+1=97， 那么除以4后余1的两位数一共有：（97﹣13）÷4+1=22（个）， 所有除以4后余1的两位数的和为： 13+17+21+…+97
=（13+97）×22÷2 =110×11 =1210．
答：一切除以4后余1的两位数的和是1210． 故选：C．
点评：本题考查余数的性质与等差数列求和．本题的解题关键是由除以4余1这一特点，想到满足条件的最小的两位数是13，最大的两位数是97，是一个公差为4的等差数列．
例2：一本书如果每天读80页，那么4天读不完，5天又有余；如果每天读90页，那么3天读不完，4天又有余；如果每天读N页，恰好N（N是自然数）天读完，这本书是 324 页．
分析：设页数为x，①由“一本书如果每天读80页，那么4天读不完，5天又有余”得320＜x＜400；②由“如果每天读90页，那么3天读不完，4天又有余”得270＜x＜360；③由①②得320＜x＜360．满足上述条件的只有n=18.320＜18×18=324＜36． 解：设页数为x，①320＜x＜400； ②270＜x＜360；
③由①②得：320＜x＜360， 满足上述条件的只有n=18． 320＜18×18=324＜360． 故答案为：324．
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点评：此题考查了带余除法的知识，以及分析问题的能力．
【解题方法点拨】
对任意整数a，b且b≠0，存在唯一的数对q，r，使a=bq+r，其中0≤r＜|b|．这个事实称为带余除法定理，是整除理论的基础．若c|a，c|b，则称c是a，b的公因数．若d是a，b的公因数，d≥0，且d可被a，b的任意公因数整除，则称d是a，b的最大公因数．若a，b的最大公因数等于1，则称a，b互素．累次利用带余除法可以求出a，b的最大公因数，这种方法常称为辗转相除法．又称欧几里得算法．
9．约数个数与约数和定理 【知识点归纳】
约数个数与约数和定理
设自然数n的质因子分解式如n=p1×p2×…×pk 那么： n的约数个数公式：d（n）=（a1+1）（a2+1）…（ak+1）
012a1012a2012ak
n的所有约数和：f（n）=（p1+p1+p1+…p1）（p2+p2+p2+…p2）…（pk+pk+pk+…pk）
【命题方向】 经典题型：
例1：105可以分解成105=3×5×7，它的约数共有（ ）
A、4个 B、6个 C、8个 D、10个 分析：根据求一个数约数的个数的计算方法：所有相同质因数的个数加1连乘的积就是这个数约数的个数，即（1+1）×（1+1）×（1+1）=8个，然后解答可得出答案． 解：105=3×5×7，
共有（1+1）×（1+1）×（1+1）=8（个）约数， 答：它的约数共有8个． 故选：C．
αβγ
点评：此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式：a=p×q×r（其中a为合数，p、q、r是质数），则a的约数共有（α+1）（β+1）（γ+1）个约数．
例2：恰有20个因数的最小自然数是（ ）
A、120 B、240 C、360 D、432
分析：首先把20拆成几个数的乘积，利用求约数个数的方法，从最小的质因数2考虑，依次增大，找出问题的答案即可． 解：20=20=2×10=4×5=2×2×5；
199434
四种情况下的最小自然数分别为：2、2×3、2×3、2×3×5，其中最小的是最后一个4
2×3×5=240． 故选：B．
点评：此题巧用求一个数约数的方法，从最小的质因数着手，分析不同的情形，得出结论．
10．最大与最小 【知识点归纳】
研究某种量（或几种量）在一定条件下取得最大值或最小值的问题，我们称为最大和最小问题．
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在日常生活、科学研究和生产实践中，存在大量的最大与最小问题．如，把一些物资从一个地方运到另一个地方，怎样运才能使路程尽可能短，运费最省；一项（或多项）工作，如何安排调配，才能使工期最短、效率最高等等，都是最大与最小问题．这里贯穿了一种统筹的数学思想﹣最优化原则．概括起来就是：要在尽可能节省人力、物力和时间的前提下，争取获得在可能范围内的最佳效果．这一原则在生产、科学研究及日常生活中有广泛的应用．
【命题方向】 常考题型：
例1：用一块长12米、宽8米的长方形铁皮剪成半径是1.5米的小圆（不能剪拼），至多能做（ ）个．
A、11 B、8 C、10 D、13
【分析】因为从边长是3米的正方形里最大可以剪出半径是1.5米的圆，剪出半径为1.5米的圆，就相当于要剪边长是3米的正方形．分别求出长方形的长和宽各自能放几个这样的正方形，就可以求出至多能做多少个圆了． 解：8÷（1.5×2）=2（个）…2（米）； 12÷（1.5×2）=4（个）； 4×2=8（个）； 故选：B．
【点评】注意：因为不能剪拼，所以本题不能用面积来计算．
11．哈密尔顿圈与哈密尔顿链 【知识点归纳】
【命题方向】
一串珠子按照8个红色2个黑色依次串成一圈共40粒．一只蟋蟀从第二个黑珠子开始其跳，每次跳过6个珠子落在下一个珠子上，这只蟋蟀至少要（ ）次，才能又落在黑珠子上． A、7 B、8 C、9 D、10
分析：这是一个周期性的问题，蟋蟀每次跳过6粒珠子，则隔7个珠子，把珠子编上号码，将第2粒黑珠记为0，以后依次将珠子记为1，2，3…，39．其中0，9，10，19，20，29，30，39的8颗珠子是黑色；蚱蜢跳过的珠子号码依次是0，7，14，21，28，35，42，49…，因为周期是40，再根据周期性的知识解决即可
解：观察可知，每次跳过6粒珠子，则隔7个珠子，将第2粒黑珠记为0，以后依次将珠子记为1，2，3…，39．其中0，9，10，19，20，29，30，39的8颗珠子是黑色．蚱蜢跳过的珠子号码依次是0，7，14，21，28，35，42，49…，周期应是40，49﹣40=9，即这只蟋蟀至少要7次，才能又落在黑珠子上； 故选：A 点评：本题关键是理解这只蟋蟀跳跃的规律，难点是得出跳过的珠子数与循环周期之间的关系．
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