江苏省海安中学、南京外国语学校、金陵中学2013届高三下学期5月调研测试
（理科数学）
数学Ⅰ
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．
置上． ．．
1．命题“?x?1，x2≥3”的否定是 ▲ ．
2．设复数z?a?i（i是虚数单位，a?R）．若z的虚部为3，则a的值为 ▲ ． 1 8
1?i 2 8
3．右图是小王所做的六套数学附加题的得分的茎叶图（满分40分），则其平均 3 0 2 8 得分为 ▲ ． 4 0 （第3题）
24．设集合A?xy?x?4x?3，B?yy?x?m(m?0)，x?eRA， xS←0
若2m?B，则m取值范围是 ▲ ． a←1 For I From 1 to 3 5．右图是一个算法的伪代码，输出结果是 ▲ ．
a←2×a
S←S＋a 6．在区间[0，1]间随机取出2个数（可以相同），它们的差的绝对值
End For
大于1的概率为 ▲ ．
2Print S
（第5题） 7．在平面直角坐标系xOy中，过点M（1，0）的直线x?y?c?0与 圆x2?y2?5交于A，B两点，则AM= ▲ ．
MB
8．常用的复印纸的型号有A1，A2，A3等，它们的长?宽（单位：mm）理想设计尺寸分别为840?594，
594?420，420?297，据此可推得，A4型号的复印纸的理想设计尺寸应为 ▲ ．
9．已知0?y?x?π，且tanxtany?2，sinxsiny?1，则x?y? ▲ ．
310．设函数f?x??x2?c，g?x??aex的图象的一个公共点为P?2,t?，且曲线y?f?x?，
????y?g?x?在点P处有相同的切线，函数f?x??g?x?的负零点在区间?k,k?1??k?Z?，则k
= ▲ ．
??11．设数列?an?满足a1?3，当an?0时，an?1??1?；当an?0时，an?1?0．则a2013?
?an?▲ ．
（注：[x]为不超过实数x的最大整数，记{x}?x?[x]．）
12．已知直角三角形ABC的三个顶点都在抛物线y?1x2上，且斜边AB // x轴，则斜边上
2的高等于
▲ ．
13．已知平面向量a，b，c满足a?b?c?0，且a与b的夹角余弦为1，b与c的夹角余
5弦为?1，
3 b?1，则a?c的值为 ▲ ．
14．设t?R，对任意的n?N*，不等式ntlnn?20lnt≥ntlnt?20lnn，则t的取值范围是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字．．．．．．．说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分14分)
在△ABC中，?A??，BC??，点D在BC边上．
?（1）若AD为?A的平分线，且BD?1，求△ABC的面积；
（2）若AD为△ABC的中线，且AD?33，求证：△ABC为等边三角形．
2
16．(本小题满分14分) 如图，在三棱锥P?ABC中，除棱PC外，其余棱均等长，M为棱AB的中点，O为线段MC上靠近点M的三等分点．
（1）若PO?MC，求证：PO?平面ABC；
（2）试在平面PAB上确定一点Q，使得OQ//平面PAC，且OQ//平面PBC，并给出证明．
P
C A
O M
B
（第16题）
17．(本小题满分14分)
如图所示，直立在地面上的两根钢管AB和CD，AB?103m，CD?33m，现用钢丝绳对这两根钢管进行加固，有两种方法：
（1）如图（1）设两根钢管相距1m，在AB上取一点E，以C为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F处，形成一个直线型的加固（图中虚线所示）．则BE多长时钢丝绳最短？ （2）如图（2）设两根钢管相距33m，在AB上取一点E，以C为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F处，再将钢丝绳依次固定在D处、B处和E处，形成一个三角形型的加固（图中虚线所示）．则BE多长时钢丝绳最短？
A
A E
E
C C D B F 图1
F
D 图2
B 18．(本小题满分16分)
定义：如果两个椭圆，它们的离心率相同，那么称这两个椭圆相似，它们的长轴之比（大于1）叫做这两个椭圆的相似比．
x2y2x2y2（1）设m,n?N，试判断椭圆C1:??1和椭圆C2:??1能否相似？相似
m?1mm?nm?1时求出它们的相似比；
?2y2x（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，设椭圆C1：2?2?1(a?b?0)和椭圆C2：ab2x2?y?1(a?b?0)相似，过椭圆C1的右焦点F且不垂直于x轴的直线l与这两个椭圆自11a12b12上而下依次交于点A，B，C，D，射线OB，OC与椭圆C2分别交于点M，N，连MN． 求证：①MN∥l；
②△ABM和△CDN的面积相等．
y A l M B O C N F x D （第18题）
19．(本小题满分16分)
已知各项均为正数的两个无穷数列?an?、?bn?满足anbn?1?an?1bn?2nan?1(n?N?)． （1）当数列?an?是常数列（各项都相等的数列），且b1?1时，求数列?bn?的通项公式；
2（2）设?an?、?bn?都是公差不为的等差数列，求证：数列?an?有无穷多个，而数列?bn?．．0．惟一确定；
2n2an2?anS?n?N，Sn??bi，求证：2?n?6． （3）设an?1?an?1n2i?1
??20．(本小题满分16分)
设函数f?x??|ex?a|?|1?1|，其中a，x∈R，e是自然对数的底数，e?2.71828???.
ex（1）当a=0时，解不等式f?x??2； （2）求函数f?x?的单调增区间；
（3）设a?4，讨论关于x的方程f?f?x???1的解的个数．
34数学Ⅱ（附加题）
注 意 事 项
21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．答． ．
若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1． 本试卷共2页，均为非选择题（第21~23题）。本卷满分为40分，考试时间为30分钟。考试结束后，请将答题卡交回。 2． 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上，并用2B铅笔正确填涂考试号。 3． 作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位 置作答一律无效。如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。