骤．
A．选修4—1：几何证明选讲 （本小题满分10分）
D
如图，在△ABC中，?BAC?90?，延长BA到D，使得AD?1AB，
2A
E，F分别为BC，AC的中点，求证：DF?BE． F B E
（第21—A题）
B．选修4—2：矩阵与变换 （本小题满分10分）
?10??0m?已知曲线C1：x2?y2?1，对它先作矩阵A??对应的变换，再作矩阵B???10?对应02????的变换，得到曲线C2：x?y2?1，求实数m的值．
4
C．选修4—4：坐标系与参数方程 （本小题满分10分）
? ?x?1?tcos?，?x?1?2cos?，已知圆C的参数方程为?（?为参数），直线l的参数方程为???y?tsin? ?y?3?2sin? 且???）（t为参数，0????，，若圆C被直线l截得的弦长为13，求?的值．
?
D．选修4—5：不等式选讲 （本小题满分10分）
对任给的实数a(a?0)和b，不等式a?b?a?b≥a??x?1?x?2?恒成立，求实数x的取值．
【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时．．．．．．．应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1?AB?AC?1，AB⊥AC，M，N分别是棱CC1，BC的中点，点P在直线A1B1上．
（1）求直线PN与平面ABC所成的角最大时，线段A1P的长度；
（2）试确定点P的位置，使平面PMN与平面ABC所成的二面角为?，并说明理由．
62C
B1
A1
P C1
A M
B N （第22题）
C
23．（本小题满分10分）
设函数fn????sinn??cosn?，n?N*，且f1????a，其中常数a为区间（0，1）内的有理数．
（1）求fn???的表达式（用a和n表示）； （2）求证：对任意的正整数n，fn???为有理数．
数学Ⅰ参考答案及评分标准
一、填空题：
1.?x?1，x2?3 2.5 3．31 4．1＜m＜9 5．14 6．1 7．2或
428．297×210 9．π 10．?1 11．3?1 12．2 13．－51+263 14．[4,5] 23二、解答题：
ABAC?BD，在△ACD中，?CD， 15．（1）在△ABD中，
sin?BDAsinπsin?CDAsinπ66相除得：AC=2AB． ???????????????3分 在△ABC中，BC2?AB2?AC2?2AB?ACcosπ?3AB2?9，
3∴AB=3，AC=23???????????????6分
1π33∴S?ABC?AB?ACsin????????????7分
232????????????AB?AC（2）∵，∴AD?2AD2?1AB2?AC2?2AB?ACcosA?1AB2?AC2?AB?AC，
44∴AB2?AC2?AB?AC?27????????????9分
1????又AB2?AC2?AB?AC?BC2?9，
相减得AB?AC?9，???????????????11分 ∴AB2?AC2?AB?AC?9?AB?AC，∴?AB?AC??0
即∶AB=AC，又∠C=60°，∴三角形ABC为等边三角形．??????14分 16．由题意得：O为△ABC的中心，则CM⊥AB，
∵M为棱AB的中点，PA=PB，∴PM⊥AB，????????????2分 又PM∩CM=M，∴AB⊥平面PMC， ????????????4分 又PO?平面PMC，∴AB⊥PO．
又PO⊥MC，MC∩AB=M，∴PO?平面ABC????????????7分 （2）Q为线段MP上靠近M点的三等分点．?????????????9分 MQMO∵，∴OQ//PC，又OQ???平面PAC，PC?平面PAC，∴OQ//平面PAC??12分 QPOC同理可证：OQ//平面PBC． ???????????????14分 17．（1）设钢丝绳长为ym，?CFD??，则
2
33?1y?tan??33?1（其中0????0，tan?0?7）???????3分
cos?sin?cos?cos??sin? y???332sin?cos2?当tan??3时，即BE?43时，ymin?8?????????????6分 （2）设钢丝绳长为ym，?CFD??，则
??y??33?33??1?cos??sin??（其中0????0，tan?0?123?33?3）???9分
33?sin?cos???cos??sin??1?sin??cos???33?33?cos??sin? y????332???sin?cos????2?sin?cos?????令y??0得sin??cos?，当??π时，即BE?63时ymin?632?2???12分
4??答：按方法（1），BE?43米时，钢丝绳最短；
按方法（2），BE?63米时，钢丝绳最短. ?????????????14分 18．（1）因为椭圆C1,C2的离心率分别为e1?1n?1,e2?， m?1m?n令e1?e2得(n?2)m?1， ????????????2分 因为m,n?N，所以当且仅当?分
2xy2?2y2x??1，它们的相似比为此时，椭圆C1：???1，C2:214222分
*?m?1,时，椭圆C1,C2相似，????????????3
?n?3222.?????4
x2y2（2）①因为椭圆C1,C2相似，所以椭圆C2的方程为22?22?1(t?1).
atbty设B(x1,y1),C(x2,y2),A(x3,y3),D(x4,y4)，则射线OB的方程为y?1x，代入C2的方
x1y22b2xM?a(1)x2程得，即M?abtx1(b2x1?ay)xM2?ab1tx，?????????51分
2OMxx12y12222?M?t. ???????7因为2?2?1，所以xM?tx1，xM?tx1，所以
abOBx1分 同理，分
②设直线l:y?k(x?c)，其中c?22222222222ONOMON，因此MN∥BC，即MN∥l. ?????????9?t，所以?OCOBOCa2?b2，代入椭圆C1的方程并化简得
2a2k2c(b?ak)x?2akcx?ack?ab?0，所以x1?x2?2. 22b?ak2a2k2c同理得x3?x4?2， ???????????????11分 22b?ak
因此x1?x2?x3?x4即x1?x3?x4?x2. ???????????????13分 因为AB?(x1?x3)?(y1?y3)?(1?k)(x1?x3)，
同理CD?(1?k)(x2?x4)，所以AB?CD ?????????????15分 又由①知，△ABM中AB边上的高hAB等于△CDN中CD边上的高hCD，
2222222211AB?hAB,S?CDN?CD?hCD，故△ABM和△CDN的面积相等．????16分 22*19．（1）因为数列{an}是常数列，且anbn?1?an?1bn?2nan?1(n?N)，所以
而S?ABM?bn?1?bn?2n(n?N*)?①，因此bn?bn?1?2(n?1)(n?N*,n?2)?②，①-②得bn?1?bn?1?2(n?N*,n?2)，?????2分
这说明数列{an}的序号为奇数的项及序号为偶数的项均按原顺序构成公差为2的等差数列，
1311，b1?b2?2，所以b2?，因此b2n?1??(n?1)?2?(2n?1)?，222231b2n??(n?1)?2?2n?，
221*即bn?n?(n?N). ???????????????4分
2又b1??)将其通项公式代入（2）设{an}，{bn}的公差分别为d1,d2(d1d20，anb?n1?a?n1b?n2n?a(1n*?Nn)得
[d1n?(a1?d1)](nd2?b1)?(nd1?a1)[d2n?(b1?d2)]?2n(nd1?a1)，因为它是n的恒等
?2d1d2?2d1,?d1?a1,?2bd?2ad?2dd?2a,?an?na1,??1112121式，所以?解得?b1?1,因此?????????7
b?n.2ab?bd?ad?0,?n?d?1,?111112?2??d1d2?0,分
由于a1可以取无穷多非零的实数，故数列{an}有无穷多个，数列{bn}惟一确定.???8分
2an2?1(n?N*)，且an?0， （3）因为an?1?an?12an2?anan2?an??0，即an?an?1，???????????10分 所以an?1?an?an?1an?1所以anbn?1?an?1bn?2nan?1?an?1bn?1?an?1bn，得bn?bn?1?2n，因此
Sn??bi?(b1?b2)?(b3?b4)?????(b2n?1?b2n)?2?1?2?3?????2(2n?1)?2n2．
i?12n??12分
又由anbn?1?an?1bn?2nan?1(n?N)得anbn?1?(2n?bn)an?1，而an?0，所以bn?2n．因此Sn?分
*?b?2(1?2?????2n)?2n(1?2n)?4nii?12n2?2n，?????????????14
所以Sn?(2n,4n?2n)．所以2?分
222?6．???????????????16?4?nn2xSn20．（1）当a?0时，不等式f(x)?2即e?1?1?2， ex?1x?1?e?2,x?1?ex即x?1?2?e，因此????????????????2分
1e??1?2?ex,??ex3?51?53?51?5?ex??x?ln，所以ln， 22223?51?5所以原不等式的解集为(ln,ln).?????????????4分
22?x1e?x?a?1,x?0,?1?ex（2）①当a?0时，f(x)?e?a?x?1??因为x?0时，
1e?ex??a?1,x?0.?ex?1f?(x)?ex?x?0，
e1x?0时，f(x)?ex?x?0，故f(x)在区间(??,0)上单调递减，在区间(0,??)上单
e得
调递增；?5分
?x1?e?ex?a?1,x?0,??x1②当0?a?1时，f(x)??e?x?a?1,lna?x?0,仿①得f(x)在(??,lna)和
e??x1?e?x?a?1,x?lna.?e?(lna,0)上单调递减，在(0,??)上单调递增.即f(x)在区间(??,0)上单调递减，在区间(0,??)上单调递增；??6分
?x1e?x,x?0,??e③当a?1时，f(x)??
1??ex,x?0,??ex易得f(x)在区间(??,0)上单调递减，在区间(0,??)上单调递增； ???????7
分
?x1?e?ex?a?1,x?lna,??x1④当a?1时，f(x)???e?x?a?1,0?x?lna,
e??x1?e?x?a?1,x?0.?e?同理得f(x)在区间(??,lna)上单调递减，在区间(lna,??)上单调递增.???????8