专题六：概率与统计、推理与证明、算法初步、复数
第四讲 推理与证明
【最新考纲透析】
1．合情推理与演绎推理
（1）了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；
（2）了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理； （3）了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。 2．直接证明与间接证明
（1）了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点；
（2）了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点。 3．数学归纳法
了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
【核心要点突破】 要点考向1：合情推理
考情聚焦：1．合情推理能够考查学生的观察、分析、比较、联想的能力，在高考中越来越受到重视；
2．呈现方式金榜经，属中档题。
考向链接：1．归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，在进行归纳时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论；
2．类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质。在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质。 例1：（2010·福建高考文科·Ｔ１６）观察下列等式： ① cos2a=2cosa-1; ② cos4a=8cosa- 8cosa+ 1;
③ cos6a=32cosa- 48cosa+ 18cosa- 1;
④ cos8a=128cosa- 256cosa+ 160cosa- 32cosa+ 1;
⑤ cos10a= mcosa- 1280cosa+ 1120cosa+ ncosa+ pcosa- 1. 可以推测，m – n + p = .
【命题立意】本题主要考查利用合情推理的方法对系数进行猜测求解． 【思路点拨】根据归纳推理可得．
【规范解答】观察得：式子中所有项的系数和为1，?m?1280?1120?n?p?1?1，
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1064242286428642?m?n?p?162，又p?10?5?50,m?29?512，?n??400，?m?n?p?962．
【答案】962．
要点考向2：演绎推理
考情聚焦：1．近几年高考，证明题逐渐升温，而其证明主要是通过演绎推理来进行的； 2．主要以解答题的形式呈现，属中、高档题。
考向链接：演绎推理是由一般到特殊的推理，数学的证明过程主要是通过演绎推理进行的，只要采用的演绎推理的大前提、小前提和推理形式是正确的，其结论一定是正确，一定要注意推理过程的正确性与完备性。 例2：（2010·浙江高考理科·Ｔ14）设
11n?2,n?N,(2x?)n?(3x?)n23?a0?a12x?2ann?x， ??a??x将
ak(0?k?n)的最小值记为
Tn，则
T2?0,T3?1111?,T?0,T??,???,Tn,???4523332535
其中
Tn=__________________ .
Tn的奇数项与偶数项的特点．
【命题立意】本题考查合情推理与演绎推理的相关知识，熟练掌握相关的推理规则是关键． 【思路点拨】观察【规范解答】观察
Tn表达式的特点可以看出T2?0,T4?0，……，?当n为偶数时，Tn?0；
T3?111111?T??T??n5n3355n23，23，……，?当n为奇数时，23．
,当n为偶数时?0?Tn??11?n,当n为奇数时?n23?【答案】．
要点考向3：直接证明与间接证明
考情聚焦：1．直接证明与间接证明是数学证明的两种思维方式，考查了学生的逻辑思维能力，近几年高考对此部分的考查有所加强。 2．以解答题的形式呈现，属中档题目。 例3：（2010·北京高考文科·Ｔ20） 已
知
集
合
Sn?{XX?(x1,x2,?,xn),xi?{0,1},i?1,2,?,n}(n?2)，
对差
于为
A?(a1,a2,...,an)B?(b1,b2,…bn,)?Sn，定义A与B的
A?B?(|a1?b1|,|a2?b2|,…|an?bn|);
d(A,B)??ai?bii?1nA与B之间的距离为
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（Ⅰ）当n=5时，设A?(0,1,0,0,1),B?(1,1,1,0,0)，求A?B，d(A,B)； （Ⅱ）证明：(Ⅲ) 证明：
?A,B,C?Sn,有A?B?Sn，且d(A?C,B?C)?d(A,B);
?A,B,C?Sn,d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数
【命题立意】本题属于创新题，考查了学生运用新知识的能力。本题情景是全新的，对学生的“学习能力”提出了较高要求。要求教师真正的重视学生的探究性学习，更加注重学生“学习能力”、“创新能力”的培养． 【思路点拨】（I）（Ⅱ）直接按定义证明即可；(Ⅲ) “至少”问题可采用反证法证明．【规范解答】（Ⅰ）A?B?(0?1,1?1,0?1,0?0,1?0)＝（1,0,1,0,1）
d(A,B)?0?1?1?1?0?1?0?0?1?0＝3
(Ⅱ)设
A?(a1,a2,???,an),B?(b1,b2,???,bn),C?(c1,c2,???,cn)?Sn
因为a1,b1?{0,1}，所以a1?b1?{0,1}(i?1,2,???,n)
从而
A?B?(a1?b1,a2?b2,???an?bn)?Sn
由题意知ai,bi,ci?{0,1}(i?1,2,???,n)
当ci?0时，ai?ci?bi?ci?ai?bi
当
ci?1时，ai?ci?bi?ci?(1?ai)?(1?bi)?ai?bi nd(A?C,B?C)??ai?bi?d(A,B)所以
i?1
(Ⅲ)证明：设
A?(a1,a2,???,an),B?(b1,b2,???,bn),C?(c1,c2,???,cn)?Sn
d(A,B)?k,d(A,C)?l,d(B,C)?h
记
0?(0,0,???0)?Sn由（Ⅱ）可知
d(A,B)?d(A?A,B?A)?d(0,B?A)?kd(A,C)?d(A?A,C?A)?d(0,C?A)?ld(B,C)?d(B?A,C?A)?h
所以
bi?ai(i?1,2,???,n)中1的个数为k,
ci?ai(i?1,2,???,n)中1的个数为l
设t是使
bi?ai?ci?ai?1成立的i的个数。则h?l?k?2t
由此可知，k,l,h三个数不可能都是奇数，
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即d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数．
注：（1）有关否定性结论的证明常用反证法或举出一个结论不成立的例子即可；
（2）综合法和分析法是直接证明常用的两个方法，我们常用分析法寻找解决问题的突破口，然后用综合法来写出证明过程，有时候，分析法和综合法交替使用。 要点考向4：数学归纳法
考情聚焦：1．新课标区对数学归纳法的考查在去年有加强的趋势，望能引起足够的重视； 2．以解答题的形式呈现，属中档题。 例4：等比数列{
an}的前n项和为Sn， 已知对任意的n?N? ，点(n,Sn)，均在函数
y?bx?r(b?0且b?1,b,r均为常数)的图像上.
（1）求r的值;
b?2(lo2gan?（11）当b=2时，记 nn1?)(N? )b?1b1?1b2?1·······n?n?1?bb2bn证明：对任意的n?N ，不等式1成立
【解析】因为对任意的n?N,点
?(n,Sn)，均在函数y?bx?r(b?0且b?1,b,r均为常数的
,当
nS?b?n图像上.所以得
rn?1时,a1?S1?b?r,当n?2nn?1nn?1n?1aa?S?S?b?r?(b?r)?b?b?(b?1)bnnn?1时,,又因为{n}为等比数列,所以n?1r??1,公比为b,an?(b?1)b
n?1n?1n?1a?(b?1)b?2b?2(loga?1)?2(log2?1)?2n nn2n2（2）当b=2时，,
bn?12n?1b?1357b1?1b2?1?·······n???b2bn246b2n,所以b1则n2n?12n .
2n?1?n?12n成立.
b?1357b1?1b2?1·······n???bbb2462n下面用数学归纳法证明不等式133?2n?1222当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立.
b?1357b1?1b2?1·······k???bbb2462k假设当n?k时不等式成立,即1b?1bk?1?1357b1?1b2?1·······k????b2bkbk?1246n?k?1时,左边=b1?2k?1?k?12k成立.则当
2k?12k?3?2k2k?2
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2k?3(2k?3)24(k?1)2?4(k?1)?11?k?1????(k?1)?1??(k?1)?12k?24(k?1)4(k?1)4(k?1) 所以当n?k?1时,不等式也成立.由①、②可得不等式恒成立.
注：（1）用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式，命题关键在于“先看项”，弄清等式两
边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由n=k到n=k+1时等式的两边会增加多少项，增加怎样的项。
（2）在本例证明过程中，①考虑“n取第一个值的命题形式”时，需认真对待，一般情况是把第一个值供稿通项，判断命题的真假，②在由n=k到n=k+1的递推过程中，必须用归纳假设，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法。
（3）在用数学归纳法证明的第2个步骤中，突出了两个凑字，一“凑”假设，二“凑”结论，关键是明确n=k+1时证明的目标，充分考虑由n=k到n=k+1时，命题形式之间的区别和联系。
【高考真题探究】
2'4'3'(x)?4x(cosx)??sinx，由归(x)?2x1．（2010·山东高考文科·Ｔ１０）观察，，
纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(?x)?f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则
g(?x)=（ ）
（A）f(x) (B)?f(x) (C) g(x) (D)?g(x)
【命题立意】本题考查归纳推理的有关知识，考查了考生的观察问题，分析问题解决问题的
能力.
【思路点拨】观察所给的结论，通过归纳类比联想，得出结论.
【规范解答】选D．通过观察所给的结论可知，若f(x)是偶函数，则导函数g(x)是奇函数，故选D．
2．（2010·陕西高考理科·Ｔ１２）观察下列等式：
13?23?32,13?23?33?62,13?23?33?43?102,……，根据上述规律，第五个等式为
____________.
【命题立意】本题考查归纳推理，属送分题．
【思路点拨】找出等式两边底数的规律是解题的关键．
【规范解答】由所给等式可得：等式两边的幂式指数规律明显，底数关系如下：
1?2?3,1?2?3?6,1?2?3?4?10,即左边底数的和等于右边的底数。故第五个等式为：
213?23?33?43?53?63?(1?2?3?4?5?6)2?21.
【答案】1?2?3?4?5?6?21. 3
．（
2010
·
北
京
高
考
理
科
·
Ｔ
- 5 -
333333220）已知集合
Sn?{XX?(x1,x2,?,xn),xi?{0,1},i?1,2,?,n}(n?2)用心 爱心 专心