岳阳市2015届高三教学质量检测试卷（二）
数学（理科）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
21. 已知集合M?x|x?a?(a?1)i(a?R,i是虚数单位)，若M?R，则a=（ ）
??A.1 B. ―1
C. ?1
D. 0
2. 已知?,?为不重合的两个平面，直线m??，那么“m??”是“???”的（ ）
A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布. 1A．
2 B．
8 15 C．
16 31 D．
16 294．图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩的茎叶 图，图中第1次到14次的考试成绩依次记为A1,A2,,A14. 是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法图。那么算法流 7 9 程图输出的结果是（ ） 8 6 3 8 A．8 9 3 9 8 8 4 1 5 B．9 10 3 1 C．10 11 4
（第4题图1）D．11 5．已知向量a??3,?2?,b??x,y?1?，且a//b,若x,y均为正
图2
1流程
??
（第4题图2）数,则
32?的最小值是（ ） xy58 A．3 B．3 C．8 D．24
x2y26．已知双曲线C1:2?2?1?a?0,b?0?的离心率为2，一条渐近线为l，抛物线C2：
aby2?4x的焦点为F，点P为直线l与抛物线C2异于原点的交点，则PF?（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7. 一只蚂蚁从正方体ABCD?A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行 到达顶点C1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是：
A．①②
B．①③
C．②④
D．③④
8. 已知A,B是单位圆上的动点，且AB?3，单位圆的圆心为O，则AB?OA?（ ） A．
33B．?
2 2C．20153 2D．?3 29．若(1?3x)2015?a0?a1x?A．3
?a2015x?(x?R) ，则
a1a2?233?a2015?的值为( ) 20153B．0 C．―1 D．―3
2??x?2,x??0,1?,10．已知定义在R上的函数f?x?满足：f?x???且f?x?2??f?x?，
2??2?x,x???1,0?,2x?5g?x??，则方程f?x??g?x?在区间??5,1?上的所有实根之和为( )
x?2A. ―7 B. ―8 C. ―9 D. ―10
二、填空题：本大题共6个小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分。
（一）选作题（请考生在第11、12、13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分） 11．已知直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为??x?t?3，. 以直角坐标系xOy (t为参数）?y?3t，2中的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，圆C的极坐标方程为??4?cos??3?0 （?＞0，0≤?＜2?），则圆心C到直线l的距离为 . 12．如图，在Rt?ABC中，斜边AB?5，直角边AC?4，如果以C
为圆心的圆与AB相切于D，则C的半径长为 . 13．不等式|x?1|?|x?2|?5的解集是 . （二）必做题（14—16题） 14．计算定积分
第12题图
??1?1(x2?sinx)dx? .
?x?2y?0,?15．在平面直角坐标系中，不等式组?2x?y?0,（a?0）表示的平面区域的面积为5，直线
?x?a?mx―y+m=0过该平面区域，则m的最大值是 .
16．已知数列{an}满足a1?1，an?logn(n?1)(n?2,n?N*)，定义：使乘积a1a2正整数的k(k?N*)叫做“简易数”. （1）若k=3时，则a1a2a3? ;
（2）求在[3，2015]内所有“简易数”的和为 .
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
ak为
17．（本小题满分12分）已知函数f(x)?(3sinx?cosx)(3cosx?sinx)，x?R，
（1）求f(x)的单调递增区间；
（2）将y?f(x)的图象向左平移m(m?0)个单位后得到偶函数y?g(x)的图象，求m 的最小值.
18．（本小题满分12分）某同学参加某高校自主招生3门课程的考试．假设该同学第一门课程
取得优秀成绩的概率为
4，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p、q（p?q）， 5且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记?为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为：
? pi 0 1 2 3 ]6 125x y 24 125
（1）求该生至少有1 门课程取得优秀成绩的概率及p，q的值； （2）求数学期望??． 19．（本小题满分12分）如图一所示，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AD?4，
BC?8，O、O1分别为BC、AD的中点，将梯形ABOO1折起，使得平面1沿直线OOABOO1?平面OO1DC，得到如图二所示的三棱台AO1D?BOC，E为BC的中点. （1）求证：BC?平面OO1E；
（2）若直线O1E与平面ABCD所成的角的正弦值为
A
O1D10，求三棱锥A?BOC的体积. 10O1DA
O CBOCE 图一 B图二
20. （本小题满分13分）岳阳市为了改善整个城市的交通状况,对过洞庭大桥的车辆通行能力
进行调查。统计数据显示：在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是 车流密度x（单位：辆 /千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆 /千米时，造成堵 塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过30辆 /千米时，车流速度为85千米/小时，研 究表明：当30?x?200时，车流速度v是车流密度x的一次函数. （1）当0时，求函数v?x?的表达式； ?x?200（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆
/小时）f(x)?x?vx()可以达到最大，并求出最大值.
x2y2y22?1共焦 21.（本小题满分13分）已知椭圆E: 2?2?1(a?b?0)与双曲线G：x?3ab点，F1、F2是双曲线的左、右焦点，P是椭圆E与双曲线G的一个交点，O为坐标原点， （1）求椭圆E的方程； ?PF1F2的周长为4?42。
（2）已知动直线l与椭圆E恒有两个不同交点A,B，且OA?OB，求?OAB面积的取
值范围.
22.（本小题满分13分）已知函数f(x)?ax?ln(x?1)的最小值为0，其中a>0.
（1）求a的值；
kx2（2）若对任意的x?(0,??),有?1成立,求实数k的最小值;
f(x)（3）证明
?2i?1?ln(2n+1)<2(n?N).
*i=1n2岳阳市2015届高三第二次质量检测试题
数学(理科)参考答案
一、选择题：1-5 CADCC 6-10 DCBCA
53二、填空题：（一）选做题（11—13题）11．2
1212． 5
13． {x|x??3或x?2} （二）必做题（14—16题）14． 23
15． 43
16．（1）2；（2）2035
三、解答题：
17．（本题满分12分）解：(1) 法一：因为f(x)?(3sinx?cosx)(3cosx?sinx)
=3sinxcosx?3sin2x?3cos2x?sinxcosx =sin2x?3cos2x=2sin(2x??3)………3分
法二：因为f(x)?(3sinx?cosx)(3cosx?sinx)
=2(32sinx?12cosx)?2(32cosx?12sinx) =4sin(x??)cos(x??)=2sin(2?66x?3)………3分
由 2k???2?2x??3?2k??2 得 k???12?x?k??5?12………5分 所以f(x)的单调递增区间为[k???12,k??5?12](k?Z); ………6分 (2) 由 (1) 可知，g(x)?2sin[2(x?m)??3]?2sin(2x?2m??3)………8分
因为函数y?g(x)为偶函数，所以函数y?g(x)的图象关于y轴对称
所以 2m???k???k?32 所以 m?2?5?12 (k?Z) ………10分
又因为m?0 ，所以当 k?0时m取得最小值5?12。…………12分
18．（本小题满分12分）解：用Ai表示“该生第i门课程取得优秀成绩”， i=1，2，3
由题意得P(A1)?45,P?A61A2A3??125…………2分 ?1?该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率为P?1?P?A61191A2A3??1?125?125