16由PA1A2A3??1?P?A1???1?P?A2???1?P?A3???(1?p)(1?q)? 5125??及P?A1A2A3??P?A1?P?A2?P?A3??又由p?q，得p?424pq? ………4分 512523,q?…………6分 55?2?P???1??5?5?5?5?5?5?5?5?5?125………8分
42243312358P???2???????????………10分
555555555125ξ 0 1 2 3 43212213337pi ∴ E????0?6 12537 12558 12524 12563758249?1??2??3?? 12512512512559…………12分 5∴该生取得优秀成绩的课程门数的期望为19．（本题满分12分）解：法一：
（1）在等腰梯形ABCD中，O、O1分别为两底BC、AD的中点，所以OO1?BC，所以在三棱台AO1D?BOC中，OO1?BO，OO1?OC，又BO?OC?O，所以OO1?平面BOC，所以OO1?BC，又BO?OC，E为BC的中点，所以
O1AOBEFDOE?BC，因为OO1?OE?O，所以BC?平面
OO1E。 ……………… 6分
（2）如图所示，取AD的中点F，连结BF、BO1、O1F、FE，则O、O1、E、F四点共面。 设点O1到平面ABCD的距离为h。
C由平面ABOO1?平面OO1DC及OO1?平面BOC知BO?OC，又BO?OC?4，所以
OE?22，同理O1F?2，所以S?O1EF?由BC?平面OO1E且BC?12?O1F?OO1?OO1，??????8分 222BO得BE?22
所以VB?O1EF?因为EF?12?S?O1EF?BE??OO1 ………① 3322OO1?(OE?O1F)2?OO1?2
又易知四边形ABCD为等腰梯形，所以EF?BC 所以S?BEF?12?BE?EF?2OO1?4 2所以VB?O1EF2OO1?41??S?BEF?h?h ………② 332由①②得h?2OO12OO1?42
又O1E?由题意得
OO1?OE2?2OO1?8
=
2h?O1E2OO12OO1?4?OO1?82210 10解得 OO1?所以VA?BOC?2 或OO1?22????????10分
A182162?S?BOC?OO1?或?????12分 333O1z DOx Cy E法二：在等腰梯形ABCD中，O、O1分别为两底BC、AD的中点，所以OO1?BC，所以在三棱台AO1D?BOC中，OO1?BO，
BOO1?OC，又BO?OC?O，所以OO1?平面BOC，又平面ABOO1?平面OO1DC，
所以?BOC?90?。
以O为坐标原点，分别以OB，OC，OO1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图所示)，设OO1?m
由题意可得，O(0,0,0)，B(4,0,0)，C(0,4,0)，E(2,2,0)，O1(0,0,m)，A(2,0,m) 所以OE?(2,2,0)，OO1?(0,0,m)，BC?(?4,4,0)，O1E?(2,2,?m)??????2分
??OE?BC?2?(?4)?2?4?0?0?0所以?
??OO1?BC?0?(?4)?0?4?0?m?0所以 OE?BC，OO1?BC，又OO1?OE?O，
所以BC?平面OO1E。 ……………… 6分
（2）设平面ABCD的一个法向量为n?(x,y,z)，因为AB?(2,0,?m)
?22?n?AB?2x?mz?0所以? 令x?1，则y?1，z?，即n?(1,1,)??????8分
mm??n?BC??4x?4y?0直线O1E与平面ABCD所成的角为?， 则sin??|cos?O1E,n?|?|O1E?n||O1E||n|?28?m22?4m2?10 10解得 m?2或m?22????????10分
182162?S?BOC?m?或????????12分 333所以VA?BOC?20. (本题满分13分)
解析：本小题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力. （1）由题意：当0?x?30时v?x??85；当30?x?200时，v(x)?ax?b
1??200a?b?0,?a??再由已知得?解得?2故函数v(x)的表达式为
?30a?b?85,??b?100?85,???????????????0?x?30?v(x)??1……………6分
(200?x),30?x?200??2?85x,???????????0?x?30?（2）依题意并由（Ⅰ）可得f(x)??1……………8分
(200?x)x,30?x?200??2当0?x?30时，f(x)为增函数，故当x?30时达到最大，其最大值为85×30=2550； 当30?x?200时，f(x)?11x(200?x)??(x?100)2?5000 22当且仅当x?100时，f(x)在区间[30，200]上取得最大值5000 综上，当x?100时，f(x)在区间[0，200]上取得最大值5000。
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为5000辆/小时. ……………13分 21.（本小题满分13分）
y2?1知F1(?2,0)、F2(2,0)， 解: （I）由双曲线G：x?32x2y2所以在椭圆E: 2?2?1中有c?2，又?PF1F2的周长为4?42ab
所以|PF1|?|PF2|?42?2a，所以a?22，b?a?b?4
222x2y2??1所以椭圆E的方程为84 …………………4分
（II）当直线l的斜率存在时，其方程可设为y?kx?m，A(x1,y1),B(x2,y2)
?y?kx?m?解方程组?x2y2得x2?2(kx?m)2?8,即(1?2k2)x2?4kmx?2m2?8?0, 21世纪教
?1??84?育网
则△=16k2m2?4(1?2k2)(2m2?8)?8(8k2?m2?4)?0,
4km?x?x??12??1?2k222即8k?m?4?0 ?2……………6分?xx?2m?8122?1?2k?
k2(2m2?8)4k2m2m2?8k22y1y2?(kx1?m)(kx2?m)?kx1x2?km(x1?x2)?m???m?1?2k21?2k21?2k2
222m2?8m2?8k2??0,所以3m2?8k2?8?0, 要使OA?OB,需使x1x2?y1y?20,即221?2k1?2k8k2?m2?4?0对于k?R恒成立，
…………………8分
m2m2826??,d?而原点到直线l的距离d?，d?, 222331?k3m?8……9分1?k1?8|m|24km22m2?88(8k2?m2?4) 同时有(x1?x2)?(x1?x2)?4x1x2?(?, )?4??22221?2k1?2k(1?2k)22所以|AB|?(x1?x2)??y1?y2?228(8k2?m2?4)?(1?k)(x1?x2)?(1?k) 22(1?2k)222324k4?5k2?132k2??4?[1?4], 2234k?4k?134k?4k?1①当k?0时|AB|?321[1?]
1324k?2?4k因为4k?21?4?8所以0?k211?, 14k2?2?48k所以
32321?[1?]?12,
1334k2?2?4k426?|AB|?23当且仅当k??时取”=”. 21世纪教育网 32所以② 当k?0时,|AB|?46. 3x2y2262626??1的两个交点为(当直线l的斜率不存在时，直线为x??与椭圆,?)或84333(?262646,?)满足OA?OB,此时|AB|?, 33346?|AB|?233 …………………12分
综上, |AB |的取值范围为所以S?0AB?[,22]
22.（本小题满分13分）
解析:(1)f(x)的定义域为x?(?1,??)
83…………………13分
1ax?a?11??0?x??1??1 x?1x?1a11f'(x)?0?x??1,f'(x)?0??1?x??1……………3分
aa11x??1f(x)?f(?1)?1?a?lna?0?a?1………………4分 min得:时,aaf(x)?ax?ln(x?1)?f'(x)?a?（2）由(1)知，f(x)在x?(0,??)上是增函数，所以f(x)?f(0)?0,x?(0,??)
kx2所以?1?kx2?f(x)?0在x?(0,??)上恒成立
f(x)设g(x)?kx2?f(x)?kx2?x?ln(x?1)(x?0)
则g(x)?0在x?[0,+?)上恒成立?g(x)min?0?g(0)（*）
g(1)?k?1?ln2?0?k?0
1x(2kx?2k?1)?………………6分 x?1x?1 11?2k?x0?g(x0)?g(0)?0与（*）矛盾 ①当2k?1?0(k?)时，g?(x)?0?0?x?22k1②当k?时，g?(x)?0?g(x)min?g(0)?0符合（*）
21得：实数k的最小值为
2 ………………8分
12（3）由（2）得：x?ln(x?1)?x对任意的x?0值恒成立
2g?(x)?2kx?1?取x?2(i?1,2,3,2i?1,n)：
22?[ln(2i?1)?ln(2i?1)]?2i?1(2i?1)2 …10分
n当n?1时，2?ln3?2 得：
2?ln(2n+1)<2 ?2i?1i=1当i?2时，
211??
(2i?1)22i?32i?1得：
?[i?1n21?ln(2i?1)?ln(2i?1)]?2?ln3?1??2………………13分 2i?12n?1（其他证明方法请酌情给分！）