2016年安徽省蚌埠市高三理科第一次教学质量检查数学试卷
一、选择题（共12小题；共60分） 1. 复数 1+ii
= ??
A. ?1?i
B. 1?i
C. ?1+i
D. ?i
2. 命题“???∈??，函数 ??=?? 是增函数”的否定是 ??
A. ???∈??，函数 ??=?? 是减函数 B. ???∈??，函数 ??=?? 不是增函数 C. ???∈??，函数 ??=?? 不是增函数
D. ???∈??，函数 ??=?? 是减函数
3. 在定义域内既是奇函数又是减函数的是 ??
A. ??=1
?? B. ??=???+1
??
C. ??=???∣??∣
D. ??= ???+1,??>0 ????1,??≤0
4. 若 ??=ln2，??=5?
12，??=∫1
0??d??，则 ??，??，?? 的大小关系是 ??
A. ??
B. ??
C. ??
D. ??
5. 已知 2??=3??=??，且 ??，????，?? 成等差数列，则 ??= ??
A. 2 B. 3 C. 6 D. 6 6. 由两个 1，两个 2，两个 3 组成的 6 位数的个数为 ??
A. 45
B. 90
C. 120
D. 360
??≥2,
7. 已知 ??，?? 满足 ??≥2,??+??≤8,
则 ??=????? 的最大值为 ?? A. 4
B. ?4
C. 0
D. 2
8. 已知 ????⊥????，????=????，?? 满足 ???? =?????? + 1??? ????
，若 ∠??????=60°，则 ?? 的值为 A.
3?1
2
B. 3? 2 C. 2?1 D.
3+1
2
9. 执行如图的程序框图，则输出的 ??= ??
A. 1
C. 1
1
16 B. ?1
16
32 D. ?32
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?? 10. 已知函数 ?? ?? =sin2 ???? ? ??>0 的周期为 π，若将其图象沿 ?? 轴向右平移 ?? 个单位
2
1
??>0 ，所得图象关于原点对称，则实数 ?? 的最小值为 ??
A. π
B.
43π
C. 2
π
D.
4
π
11. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ??
A. 3
8
B. 8 C.
3
16
D. 16
12. 已知 ?? ?? =???2??+??2+????，若 ??∣?? ?? =0,??∈?? = ??∣?? ?? ?? =0,??∈?? ≠?，则
??+?? 的取值范围为 ??
C. 0,5
D. 0,5
A. 0,4 B. 0,4
二、填空题（共4小题；共20分）
13. 在 1+2?? 10 的展开式中，??2 项的系数为 ．（结果用数值表示）
14. 当下社会热议中国人口政策，下表是中国人民大学人口预测课题组根据我国 2000 年第五次人口
普查预测的 15～64 岁劳动力人口所占比例：
年份年份代号??所占比例??
20302035204020452050168
265
362
462
??
5 61
根据上表，?? 关于 ?? 的线性回归方程为 ．
????? ??????? = ??=1 ?? ??． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ??，?? =????? ?? ????? 2??=1
??
15. 过抛物线 ??：??2=4?? 的焦点 ?? 作直线 ?? 与抛物线 ?? 交于 ??，?? 点，∣????∣=3∣????∣，则直线 ?? 的
斜率为 ．
16. 沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始
时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为 8 cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的 （细管长度忽略不计）．如果该沙漏每秒钟漏下 0.02 cm3 的沙，则
32
该沙漏的一个沙时为 秒（精确到 1 秒，π 取 3）．
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三、解答题（共7小题；共91分）
17. 已知数列 ???? 是等比数列，???? 为数列 ???? 的前 ?? 项和，且 ??3=3，??3=9．
（1）求数列 ???? 的通项公式；
（2）设 ????=log2??
3
2??+3
，且 ???? 为递增数列，若 ????=??
4
???????+1
，求证：??1+??2+??3+?+????<1．
18. 一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取 50 个作为样本，称出
它们的重量（单位：克），重量分组区间为 5,15 ,
????????( 15,25 ， 25,35 ， 35,45 ，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图）
（1）求 ?? 的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；
（2）从盒子中随机抽取 3 个小球，其中重量在 5,15 内的小球个数为 ??，求 ?? 的分布列和数学
期望. （以直方图中的频率作为概率）．
19. 如图，三棱柱 ?????????1??1??1 中，????=????=????1=????1=2，∠????1??1=60°，平面??????1⊥
平面????1??1??，????1 与 ??1?? 相交于点 ??．
（1）求证：????⊥平面????1??1??；
（2）求二面角 ??1???????? 的余弦值．
20. 如图，已知椭圆 ??：??2+??2=1 ??>??>0 的短轴长为 2 3，且离心率 ??=2．设 ??1，??2 分别是
椭圆的左、右焦点，过 ??2 的直线与椭圆右侧相交于 ??，?? 两点，直线 ??1??，??1?? 分别与直线 ??=4 相交于 ??，?? 两点．
??2
??2
1
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（1）求椭圆 ?? 的方程；
（2）求 △??2???? 的面积的最小值． 21. 已知函数 ?? ?? =ln?? 的反函数为 ?? ?? ．
（1）若直线 ??:??=??1?? 是函数 ??=?? ??? 的图象的切线，直线 ??:??=??2?? 是函数 ??=?? ?? 图
象的切线，求证：??⊥??； （2）设 ??,??∈??，且 ??≠??，??=??
小，并说明理由．
22. 极坐标系与直角坐标系 ?????? 有相同的长度单位，以原点 ?? 为极点，以 ?? 轴正半轴为极轴，曲线
??=??+??,
??1 的极坐标方程为 ???2cos??=0，曲线 ??2 的参数方程为 ??=2???1（?? 是参数，?? 是常数）．
（1）求 ??1 的直角坐标方程和 ??2 的普通方程；
（2）若 ??2 与 ??1 有两个不同的公共点，求 ?? 的取值范围．
23. 已知函数 ?? ?? =∣???10∣+∣???20∣，且满足 ?? ?? <10??+10 ??∈?? 的解集不是空集．
（1）求实数 ?? 的取值集合 ??；
（2）若 ??∈??，??≠??，求证：????????>????????．
??+??2
，??=
?? ?? ??? ?? ?????
，??=
?? ?? +?? ??
2
，试比较 ??，??，?? 的大
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答案
第一部分 1. B 3. C
2. C 【解析】全称命题与特称命题的否定应先否定量词，再否定结论，它们的真假性相反． 【解析】??=??，??=???+?? 都是奇函数，在 ?∞,0 ， 0,+∞ 上是减函数，但是在 ?∞,0 ∪
1
1
0,+∞ 上不是减函数，不满足题意；选项C中的函数的定义域为 ??，对于 ??=?? ?? =???∣??∣，有 ???2,??≥0?? ??? =? ??? ∣???∣=??∣??∣=??? ?? ，所以函数是奇函数，且 ??= 2 是减函数；选项D
??,??<0
???+1,??>0中的函数 ??= 不是奇函数．
????1,??≤04. C
111
【解析】由题意，得 ??=∫0??d??=2??2∣∣=2．
0
1
1
?21
又 ??=ln2>ln e=2，??=5所以 ??
=
1 <51 =2， 41
【解析】因为 2??=3??=??， 所以 ??=log2??，??=log3??． 又因为 ??，????，?? 成等差数列，
所以 2????=??+???2=+=log??2+log??3=log??6，
??
??1
1
所以 ??= 6． 6. B 7. A
【解析】问题等价于从 6 个位置中各选出 2 个位置填上相同的 1，2，3， 【解析】作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，
222
所以由分步计数原理有：C6C4C2=90 个不同的六位数．
由 ??=????? 得 ??=?????，欲求 ?? 的最大值，可将直线 ??:??=?? 向下平移，当直线 ?? 经过 ?? 点时，直线在 ?? 轴上的截距 ??? 最小，即 ?? 取得最大值． 易求点 ?? 6,2 ，则 ??max=6?2=4． 8. A
【解析】如图，根据题意知，?? 在线段 ???? 上，过 ?? 作 ????⊥????，垂足为 ??，作 ????⊥????，垂
足为 ??；
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