第2课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质
1．能由三角函数的图象求出解析式．(重点，易错点) 2．掌握y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质．(重点)
[基础·初探]
教材整理 y＝Asin(ωx＋φ)的性质
阅读教材P37～P38的有关内容，完成下列问题． 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质如下： 定义域 值域 周期性 R [－A，A] T＝2π ωπkπφ＝kπ，k∈Z时是奇函数；φ＝＋kπ，k∈Z时是偶函数；当φ≠(k22奇偶性 ∈Z)时是非奇非偶函数 ππ单调增区间可由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ，k∈Z得到，单调减区间22π3π可由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ，k∈Z得到 22
1ππ
1．最大值为，周期为，初相为的函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)解析式可
234以为________．
12πππ1
【解析】 由题意可知A＝，＝，∴ω＝6，又φ＝，故其解析式可以为y＝
2ω342
单调性
π??sin?6x＋?. 4??
π?1?
【答案】 y＝sin?6x＋?
4?2?
π?π?2．已知f(x)＝Asin?ωx＋?(A＞0，ω＞0)在一个周期内，当x＝时，取得最大值3?12?7π
2；当x＝时，取得最小值－2，则f(x)＝________.
12
T7πππ
【解析】 由题意可知，A＝2，又＝－＝，
212122
2π
∴T＝π，∴ω＝＝2，
ππ??∴f(x)＝2sin?2x＋?. 3??π??【答案】 2sin?2x＋? 3??
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：
[小组合作型]
由图象求三角函数的解析式 π?? 如图1-3-7是函数y＝Asin(ωx＋φ)?A>0，ω>0，|φ|
φ的值，并确定其函数解析式. 【导学号：06460033】
图1-3-7
【精彩点拨】 观察图象可知A＝3，对于ω，φ可由一个周期内的图象确定． 【自主解答】 法一：(逐一定参法) 由图象知振幅A＝3，又T＝
5π?π?2π
－?－?＝π，∴ω＝＝2. 6?6?Tπ?π?由点?－，0?，令－×2＋φ＝0， 6?6?π?π?得φ＝，∴y＝3sin?2x＋?.
3?3?法二：(待定系数法)
?π??5π?根据五点作图法原理(以上两点可判为
由图象知A＝3，又图象过点?，0?和?，0?，
?3??6?
π
??3·ω＋φ＝π，
“五点法”中的第三点和第五点)，有?5π
??6·ω＋φ＝2π，
π??∴y＝3sin?2x＋?.
3??
ω＝2，??
解得?π
φ＝，?3?
1．利用代点法求参数A，ω，φ时，须分清代入的点是相应“五点法”作图中的第几个点：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象曲线的“峰π点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即
23
图象曲线的“谷点”)为ωx＋φ＝π；“第五点”为ωx＋φ＝2π.
2
2．运用逆向思维的方法，先确定函数的基本函数式y＝Asin ωx，根据图象平移规律也可以确定相关的参数．
[再练一题]
1．如图1-3-8所示，是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k(A＞0，ω＞0)的图象的一部分，求f(x)的表达式．
图1-3-8
【解】 由图象可知函数的最大值为4，最小值为0， 4－04＋0
所以A＝＝2，k＝＝2.
22
T2ππ
又＝2－(－2)＝4，所以T＝8＝，则ω＝. 2ω4
由图象可得点(－2,4)是第二个关键点， ππ
则由×(－2)＋φ＝，可得φ＝π.
42
?π?综上所述，函数的解析式为f(x)＝2sin?x＋π?＋2.
?4?
[探究共研型]
为偶函数？当其取何值时为奇函数？
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质 探究1 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的奇偶性与哪个量有关？当其取何值时π
【提示】 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的奇偶性与参数φ有关，当φ＝＋
2
kπ，k∈Z时，其为偶函数，当φ＝kπ，k∈Z时，其为奇函数．
探究2 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的对称轴方程如何表示，对称中心呢？ π
【提示】 由ωx＋φ＝＋kπ，k∈Z，求对称轴方程，由ωx＋φ＝kπ，k∈Z，求
2
对称中心．
探究3 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，相邻对称轴之间相差多少个周期？相邻零点呢？
【提示】 均相差半个周期．
已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关
于点M?
?3π，0?对称，且在区间?0，π?上是单调函数，求φ和ω的值．
???2??4??
【精彩点拨】 由f(x)为偶函数求φ，由对称中心及单调性求ω. 【自主解答】 ∵f(x)在R上是偶函数， ∴当x＝0时，f(x)取得最大值或最小值． π
即sin φ＝±1，得φ＝kπ＋，k∈Z，
2π
又0≤φ≤π，∴φ＝. 2由图象关于M?sin??3π，0?对称可知，
?
?4?
?3πω＋π?＝0，则3πω＋π＝kπ，k∈Z， 2?42?4?
42
解得ω＝k－，k∈Z.
33
?π?又f(x)在?0，?上是单调函数，
2??
2π
∴T≥π，即≥π，∴ω≤2，又ω＞0，
ω2
∴当k＝1时，ω＝；当k＝2时，ω＝2.
3
1．在研究y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质时，注意采用整体代换的思想．例π3π
如，它在ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)时取得最大值，在ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)时取得最
22小值．
2．熟知y＝Asin(ωx＋φ)的图象和相关性质是解决y＝Asin(ωx＋φ)类综合题的关键．