?2?2(?)??E? 222ma??1.34写出平面刚性转子，即被束缚在一圆周上的粒子的薛定谔方程，并求其解。
?2?2解： 薛定谔方程 (?)??E?
2ma2??2d22ma2E 整理得：2????0
d??2 该方程的两个特解为：??e?i2ma2E??
边界条件要求?(?)??(??2?)
即：e?i2ma2E???e?i2ma2E(??2?)?
将上式写成复数的三角函数表达式：
2ma2E2ma2E2ma2E2ma2Ecos??isin??cos(??2?)?isin(??2?)???? 使该方程成立，需要复数的实部与虚部分别相等
2ma2E2ma2E cos??cos(??2?)
??2ma2E2ma2Esin??sin(??2?)
??2ma2E为满足上述两式，2??n2?, n?0, 1, 2, ?
?2ma2E即：?n
?n2?2 E? 22ma波函数可以写作：??ein?, (n??1,?2,?)
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将波函数归一化：??1in?e, (n??1,?2,?2?)
1.35求被束缚在半径为a的圆周上运动的粒子处于状态?(?)?cos?时角度?的平均值。（状态?(?)?cos?未归一化）
解：??cos?d????
?cos?d?02202?2积分公式 ??cos?d??cos???sin?
?2?0?(cos2?)d??12??(1?cos2?)d? ?022??1??21 ???(cos2??2?sin2?)?
2?24?0 ??2
?2?0cos2?d??12?112?(1?cos2?)d??(??sin2?) 0?0222 ??
?2?? ????1.36将一维箱中粒子的波函数归一化时，得B2?何只取B?22，取B?? 可不可以，为aa22，而不取B??？ aa答：取B??22 也可以，但通常为简便只取B?. 这是因为波函数是几率波，aa2粒子在空间某点出现的几率密度与?成正比，将波函数乘以一个常数因子，不改变粒子的运动状态。
1.37在讨论一维箱中粒子的边界条件时，由Bsin
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112mEa?0，2mEa?n?得??
满足上式的n可取0，?1，?2，……,为何只取正值而不取负值和零？ 答：若n＝0，得到的是零解，即?(x)?0，我们所要求的是非零解；若n取负值，
只是波函数改变符号，其所描述的粒子的运动状态不变。 1.38处于状态为?1(x)?a2?x的一维箱中的粒子，出现在x?处的几率是sin2aa?12()?(a22?a2sin.)2?，这种说法对吗？ aa2aaa2答：不对。正确的说法是?12()表示粒子在x?处出现的几率密度是.
22a1.39求处于基态的一维箱中的粒子出现在0.25a?x?0.75a内的几率。a是一维箱的长。
解：基态波函数为：?1(x)?2?x sinaa1?cos22?xadx
0.75a 几率：p?22?2sinxdx???aaa0.25a0.25a0.75a0.75a0.75a2112?x?dx?cosdx ??a0.25a2a0.25aa21a?(0.75?0.25)a??aa2??0.5??2?x? sin??a?0.25a?0.75a13??(sin?sin) 2?221?0.5??
?0.818
1.40一质量为m的粒子，在长为a的一维箱中运动，若将箱长平均分为3段，求该粒子处于第一激发态时出现在各段的几率。
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解： ?1(x)?1a32?x sinaa p1?22?13sinxdx???0.4022 ?aa38?0p2?22?13sinxdx???0.1955 ?a34?1a3aa2a3 p3?22?13sinxdx???0.4022 ?a38?2a3a1.41一电子在长为0.6 nm的一维箱中运动，由能级n=5跃迁到n=4所发出的光子的波长是多少？
n2h2解：E?
8mea2?E5?425h216h29h2 ???2228mea8mea8meahc?E5?4?h???
hc ????E5?46.626?10?34?3?108?7?1.320?10 m?132.0 nm ?3429?(6.626?10)8?9.110?10?31?(0.6?10?9)21.42一维箱中的电子的最低跃迁频率为2.0?1014s?1，求箱长。 解： ?E2?1?h?
4h2h23h2 ?E2?1???2228mea8mea8mea3h3?6.626?10?34?9a???1.168?10 m?1.168 nm ?31148me?8?9.110?10?2.0?10 29
1.43求处于状态?(x)?值，求其平均值。 解： ?(x)?4?xsinaa2a2a2a1asin4?x2?x的一维箱中的粒子的能量。若无确定sincosaaa4?x112?x2?xcos=sin(?cos) aa22aa(1?cos2a22?x) a??xa?sin?xa?sin?xacos2?x a?sin?xa?13?x?x ?（sin?sin）2aaasin3?x a?sin?xa?1a?1212(2?x23?xsin?sin) aaaa?(?1??3) （波函数是归一化的）
是粒子的一个可能状态。?1,?3具有不同的能量本征值，所以处于状态?的粒子其能量无确定值。
3h212h25h2能量平均值为：E?()? ?()??2228ma8ma8ma22121.44函数?(x)?22?x22?x是否一维箱中粒子的一个可能状态？sin?3sinaaaa如果是，其能量有没有确定值？如果有，其值是多少？如果没有，其平均值是多少？ 解：?(x)?22?x22?x sin?3sinaaaa?2?1?3?2
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