该节面将立方箱分成6部分。
1.53写出在边长为a的正方体箱中运动的质量为m的粒子的第3个能级的能量、波函数和简并度。
9h2答： E122?E212?E221? 28ma?122?8?x2?y2?z sinsinsin3aaaa82?x?y2?z?321 sinsinsinaaaa3?212??221?82?x2?y?z sinsinsin3aaaa 简并度为3.
5h21.54写出在边长为a的正方体箱中运动的质量为m的粒子的E?的能级和
2ma2状态数。
答： E111，E112?E121?E211 ，E122?E212?E221，
E311?E131?E113，E222， E321?E312?E213?E231?E123?E132， E322?E232?E223，E114?E141?E411，E331?E313?E133 能级数为9，状态数为26.
27h21.55正方体箱中的粒子的能级E?的简并度是多少？
8ma2答： E333?E511?E151?E11527h2?，简并度为4. 8ma21.56一质量为m的粒子，在长为a的立方箱中运动，求其第4和第6个能级的能量和简并度。
222解： 能级编号 nx ny nz nx 状态数 ?ny?nz 36
1 1 1 1 3 1 2 1 1 2 6 3 3 1 2 2 9 3 4 1 1 3 11 3 5 2 2 2 12 1 6 1 2 3 14 6
11h2 第四个能级： E?， 简并度 3 28me14h2 第六个能级： E? ， 简并度 6
8me21.57一质量为m的粒子，在a=b=2c的长方体箱中运动，求其第二和第三能级的简并度。 解：En1n2n32222?n12n2?h2?n12n2?h2n34n3h2222???a2?b2?c2??8m???a2?a2?a2??8m?n1?n2?4n38ma2 ??????
22 能级编号 n1 n2 n3 n12?n2 ?4n3 1 1 1 1 1＋1+4=6 2 2 1 1 4+1+4=9 1 2 1 1+4+4=9 3 2 2 1 4+4+4=12 第二能级简并度是2，第三能级简并度是1。
21h21.58一质量为m的粒子，在a=b=2c的长方体箱中运动，求能级E?的简
8ma2并度。
22?n12n2?h2n3解： E???a2?b2?c2??8m
?? 37
???2?222n3?hn?n? ??12?2
aa2?a?2?8m???????2???h2 ?n?n?4n
8ma2?212223?21h2? 8ma222 n1 n2 n3 n12?n2 ?4n3 4 1 1 16+1+4=21 1 4 1 1+16+4=21 1 2 2 1+4+16=21 2 1 2 4+1+16=21 简并度为4.
1.59: 试求函数??e??x在?等于什么值时是线性谐振子的本征函数，本征值是多少？
?2d212??kx 解：线性谐振子：H??2mdx22?e H??x22?2d212??x2?(??kx)e
2mdx222?2?212??4?2x2?kx2)e??x ?(2m2m2?214?2x2?kx2 2m2??km 2?本征值为:
?k 2m38
1.60一个质量为45 g的弹簧振子，以频率为2.4 s-1，振幅为4.0 cm在振动。求(a)此振子的力常数；(b) 如果这一振子可以用量子力学处理，其量子数?是多少？解： (a) ??12?k m2 k?4?2?2m?4?2??2.4??0.045?10.23 N?m?1 (b) 此振子的能量为：E? 若利用量子力学处理
?1? E??????h?
?2??1?3 8.18?4?1?0??????2?8.184?10?31? ?? ?346.626?10?2.42?346.?626?10
k212A??10.23??0.04??8.184?10?3 J 222.4 ?5.146?1030? ?5.146?1030 1.61处于状态??Ne1??x221 2?1mK（N?()4，??）的谐振子，其动量px有无确
??定值？若有，求其确定值；若没有，求其平均值。
?x??i?解： p? ?x1d?2?x2?x???i?Ne p
dx ?i?N?xe1??x22
?i??x?
故px有无确定值.
39
???x?dx px???p???? ?i???x?2dx
?? 因被积函数是奇函数，积分上下限是???,???，因此其积分为零。 故：px?0
1.62下列方程组是否有解？是否有非零解？若有非零解，给出其任意两组非零解
?2x?4y?01) ? 2) ?3x?y?0?2x?3y?0 ??4x?6y?0?2x?4y?0 (1)解：方程组1)： ?
(2)?3x?y?0 由(2)得 y=3x (3) 将(3)代入(1)， 2x+12x=0，即14x=0 x=0 ，y=0 方程组只有零解，无非零解。
?2x?3y?0方程组2)： ?
4x?6y?0? 由上述两式解得 y?2x 3 令x=0，则y=0 x=1，则y=
2 34 3 x=2，则y=
即该方程组有无穷多组解。
1.63 取变分函数??e??x，式中?为变分参数，试用变分法求一维谐振子的基态
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