根据状态叠加原理，?(x)是粒子的一个可能状态，但处于该状态的电子其能量没有确定值。
22h2324h25h2)?22?()?能量平均值：E?22?( 2222?38ma2?38ma13ma
1.45验证一维箱中粒子的波函数?1和?2正交。 解： ?1?2?xsin，?2?aaa22?x sinaa?(02?x22?xsin)(sin)dx aaaaa2?x2?x??sinsindx a0aa21?x3?x???(cos?cos)dx a20aa1?x13?x??cosdx??cosdx a0aa0aaaa1a??x?1a?3?x? ???sin????sina??a?0a??a??0=0
即?1和?2正交。
1.46一粒子在长为a的一维箱中运动，若将a分为相等的4段。粒子出现在各段的几率依次记为p1，p2，p3，p4，试比较当粒子处于?3时，出现在各段的大小。
解：?3的波函数图像为
aa 31
从波函数图像可以看出p1?p4?p2?p3.
1.47求一维箱中粒子坐标x的平均值x。（积分公式?xcosxdx?cosx?xsinx）。解： ?n?2n?x sinaa2n?xx??xsin2dx
a0a ?1a2n?xx(1?cos)dx ?0aa1aa ??a0xdx?a1a2n?xxcosxdx ?0aa1?x2??a??2?1a2n?x??xcosxdx ??0a?0aa1a2n?xdx ???xcosxa2a0 积分公式
a?xcosxdx?cosx?xsinx
?02n?xa2xcosdx?a?2n??2?a02n?2n?x2n?x xcosdaaa 令
2n?x?y，当x=0时，y=0;当x=a，y?2n? a
?a02n?a2xsinxdx?22a4n??2n?aysinydy
a22n?y?ysiny?0 ?22?cos4n?2n??1， cos0?1， sin2n??0， sin0?0 cos
32
?a02n?xsinxdx?0
a所以，x?a 2此结果也可由图形看出得到。
1.48求一维箱中粒子坐标的平方x2的平均值。 （积分公式?x2cosxdx?2xcosx?(x2?2)sinx） 解：x2???nx2?ndx
0a2a22n?xdx ??xsina0a sin?2x2???1?cos2?1?co2s?，sin2?
222?x?dx ?2a2?112n?x?cos?a?0?22a ?1a21a22n?xdx?xcosxdx a?0a?0a2n?x?y a令
I1?1a?0a1?x3?a22?xdx??? ??a?3?033ay?2n?1?a?2 I2???2ycosy?y?2siny0a?2n??????2n??1 sin2n??0 cos∴I2?0
x2a2? 3 33
??1.49一维箱中粒子的动量P有无确定值？若有，求其确定值；若没有，求其平均
值。
??p?x??i?解： p2n?xsin aad dx ????2n?x?2n?n?x????i?????i?sin?cos p ??x?aaaaa?? ??i?n?a2n?xcos aa? p不具有确定值。
??dx p???p0a ??2i?an?xdn?xsinsindx ?0aadxa2i?a?an? ???a0sinn?xn?xn?cosdx aaa ??2i?x?an?xn?xsindsin ?0n?aaa2i??12n?x? ???sin?
n??2a?0 =0
1.50一维箱中粒子动量的平方P2有无确定值，若有，求其确定值；若没有，求其平均值。
2d??2d????i?????解： p 2dx?dx?22 34
2d2??n??? pdx2222n?x2?n??sin???2??aaa?a?2n?x sinaan?x???sin??
a??n2?2?2 ?a2n2h2 ?4a222n?xsin aan2h2 P有确定值，其值为： 24a????1.51求一维箱中粒子的动量P的大小，即其绝对值P。 ??nhn2h2P?解：根据1.50题的结果P=，所以. 22a4a21.52正方体箱中的粒子处于状态?211和?321时，其几率密度最大处的坐标是什么？若不考虑边界，各有几个节面，表示这些节面的方程是什么，这些节面将整个正方体箱分成几个部分？你能不能不用计算而直接得出这些答案。 答：?211?22?x2?y2?zsinsinsin aaaaaa?aaa??3aaa?根据波函数图像可知几率密度最大处的坐标：?,,?；?,,?
?422??422?1个节面，节面方程：x?a，该节面将立方箱分成2部分。 2?321?23?x22?y2?zsinsinsin aaaaaa根据波函数图像可知几率密度最大处的坐标：
?a3aa??aaa??a3aa??5aaa??5a3aa??aaa?；,?；?,,?；?,,?；?,,?；?,,? ,,???,642??242??242??642??642?642???3个节面，节面方程：x?a2aa，x?，y? 332 35