【例10】（浙江2008-12）142+156+172+190+1110的值是（）。 A. 16B. 566C. 785D. 11128 ［答案］B
［解析］本题可以写成：17×6+18×7+19×8+110×9+111×10 根据公式，原式＝16-111×11=566
【例11】32×5+35×8+38×11+…+329×32的值是（）。 A. 332B. 716C. 1532D. 12 ［答案］C
［解析］根据公式，原式＝（12-132）×33＝1532
【例12】21×6+26×11+211×16+…+2101×106的值是（）。 A. 2152B. 2153C. 2252D. 2253 ［答案］B
［解析］根据公式，原式＝（11-1106）×25＝2153 【例13】（江苏2009-72）11×2＋12×3＋…＋1n×（n+1）＋…＝（）。 A. 0 B. 0.5 C. 1 D. 2 ［答案］C
［解析］根据公式，原式＝limn→∞11-1n+1×11=1 【例14】（江苏2008A类-11）13２-1+152-1+172-1+…+1（2n+1）2-1+…=（）。 A. 14B. 1C. 12D. 无法计算 ［答案］A
［解析］原式＝1（3-1）×（3+1）+1（5-1）×（5+1）+…+1（2n+1-1）×（2n+1+1）+… =12×4+14×6+16×8+…+12n×（2n+2）+…=limn→∞1２-12n+2×12=14 【例15】（浙江2006-32）13+115+135+163+199+1143+1195+1255的值是（）。 A. 617B. 619C. 817D. 819 ［答案］C
［解析］原式＝11×3+…+115×17＝11-117×12=817 三、整体消去 整体消去核心理念
在比较复杂的计算中，将相近的数化为相同，从而作为一个整体进行抵消。 【例16】（国家2004B类-37）1994×2002-1993×2003的值是（）。 A. 9 B. 19 C. 29 D. 39 ［答案］A
［解析］利用整体消去法，将每组近似的数当中一个化为另外一个： 原式＝（1993+1）×2002-1993×（2002+1） ＝（1993×2002+2002）-（1993×2002+1993） ＝2002-1993＝9 【例17】（广东2004上-13）19961997×19971996-19961996×19971997的值是（）。 A. 0 B. 1 C. 10000 D. 100 ［答案］C
［解析］原式＝（19961996+1）×19971996-19961996×（19971996+1） ＝19971996-19961996＝10000 【例18】（北京应届2007-24）（873×477-198）÷（476×874＋199）的值是（）。 A. 1B. 2C. 3D. 4 ［答案］A
［解析］鉴于题中数字两两相近，可以采用整体消去法： 原式＝873×（476+1）-198476×（873+1）+199 ＝873×476+873-198476×873+476+199 ＝873×476+675476×873+675 ＝1
【例19】（国家2005二类-36）2004×（2.3×47+2.4）÷（2.4×47-2.3）的值为（）。 A. 2003B. 2004C. 2005D. 2006 ［答案］B
［解析］题目当中出现的2.3与2.4非常接近，因此可以采用整体消去法： 原式＝2004×2.3×47+2.42.4×47-2.3 ＝2004×2.3×47+2.4（2.3+0.1）×47-2.3 ＝2004×2.3×47+2.42.3×47+4.7-2.3 ＝2004×2.3×47+2.42.3×47+2.4 ＝2004
【例20】13497×98352-13499×98350的值是（）。 A. -169706B. -169704C. 169704D. 169706 ［答案］A
［解析］利用整体消去法，将每组近似的数当中一个化为另外一个： 原式＝13497×（98350+2）-（13497+2）×98350 ＝13497×2-2×98350 ＝2×（13497-98350） ＝-2×84853 ＝-169706 【例21】（江西2008-36）1+12+13×12+13+14-1+12+13+14×12+13=（）。 A． 12B. 13C. 14D. 15 ［答案］C
［解析］原式＝1+12+13×12+13+14-1+12+13+14×12+13 =1+12+13×14-14×12+13=14×1=14
［注释］注意将题中相同的部分进行“整体消去”。 【例22】（北京应届2008-22）1+12+13+14×12+13+14+15-1+12+13+14+15×12+13+14的值是（）。
A. 12B. 13C. 14D. 15 ［答案］D
［解析］原式＝1+12+13+14×12+13+14+15-1+12+13+14+15×12+13+14 =1+12+13+14×15-15×12+13+14=15×1=15 【例23】（1+2-3）（2-3+5）-（1+2-3+5）（2-3）的值是（）。 A. 1B. 2C. 3D. 5 ［答案］D
［解析］原式＝（1+2-3）［（2-3）+5］-［（1+2-3）+5］（2-3） =（1+2-3）5-5（2-3）=5×1=5 四、分组计算 分组计算核心理念
在比较复杂的计算中，将过程中的数字进行“分组”计算，从而简化运算过程。 【例24】（山西2009-96）20×20－19×19＋18×18－17×17＋…＋2×2－1×1的值是（）。
A. 210 B. 240 C. 273 D. 284 ［答案］A
［解析］原式＝(20×20－19×19)＋(18×18－17×17)＋…＋(2×2－1×1) ＝(20＋19)(20－19)＋(18＋17)(18－17)＋…＋(2＋1) (2－1) ＝20＋19＋18＋17＋…＋2＋1=(20+1)×20÷2=210 【例25】（江苏2008C类-11）2008+2007-2006-2005+2004+2003-2002-2001+……+4+3-2-1=（）。
A. 0 B. 1 C. 2007 D. 2008 ［答案］D
［解析］原式＝（2008＋2007－2006－2005）＋（2004＋2003－2002－2001）＋…＋（4＋3－2－1）
＝4+4+4+…+4＝4×20084=2008 【例26】（国家1999-31）12-22+32-42+52-62+72-82+92-102的值为（）。 A. 55B. -55C. 50D. -50 ［答案］D
［解析］原式＝（12-22）+（32-42）+（52-62）+（72-82）+（92-102）＝（-10）×5＝-50 【例27】（江苏2006C类-6）（12345+51234+23451+45123+34512）÷5的值等于（）。 A. 22222B. 33333C. 44444D. 55555 ［答案］B
［解析］五个加数的个位、十位、百位、千位、万位的数都是1、2、3、4、5的某种排列，因此个位的和＝十位的和＝百位的和＝千位的和＝万位的和＝1+2+3+4+5＝15，因此这五个数的和为11111×15，原式＝11111×15÷5＝11111×3＝33333，选择B。
［注释］本题还可以这样来看：很容易得知，括号当中的数字每个都有因子3，加起来除以5之后肯定还有因子3，所以选择B。 【例28】（北京社招2006-12）1234+3142+4321+2413的值等于（）。 A. 10110 B. 11110 C. 11210 D. 12110 ［答案］B
［解析］四个加数的个位、十位、百位、千位的数都是1、2、3、4的某种排列，因此个位的和＝十位的和＝百位的和＝千位的和＝1+2+3+4＝10，因此这四个数的和为1111×10＝11110，选择B。 【例29】（江苏2006B类-67）（12345+51234+23451+45123+34512）÷3的值等于（）。 A. 22222 B. 33333 C. 44444 D. 55555 ［答案］D
［解析］五个加数的个位、十位、百位、千位、万位的数都是1、2、3、4、5的某种排列，因此个位的和＝十位的和＝百位的和＝千位的和＝万位的和＝1+2+3+4+5＝15，因此这五个数的和为11111×15，原式＝11111×15÷3＝11111×5＝55555，选择D。
［注释］本题还可以这样来看：很容易得知，括号当中的数字之和含有5因子，除以3之后肯定还含有5因子，所以选择D。 五、乘法分配 乘法分配核心理念
在计算中，通过“提取公因式”来简化运算。 【例30】（国家2004A类-36）0.0495×2500＋49.5×2.4＋51×4.95的值是（）。 A. 4.95 B. 49.5 C. 495 D. 4950 ［答案］C
［解析］原式＝49.5×2.5+49.5×2.4+5.1×49.5＝49.5×（2.5+2.4+5.1）＝495 【例31】（江苏2006A类-7）231×597+403×769+597×769+231×403＝（）。 A. 45597 B. 1×105 C. 1×106 D. 95769 ［答案］C
［解析］原式=231×（597+403）+769×（403+597）＝1000×1000＝1×106 【例32】（江苏2006B类-69、C类-7）已知13+23+33+43+53+63＝441，则：23+43+63+83+103+123的值是多少？（） A. 3968 B. 3188 C. 3528 D. 2848 ［答案］C
［解析］23+43+63+83+103+123＝23×（13+23+33+43+53+63）＝8×441＝3528 【例33】（吉林2009乙-8）已知14+24+34+44=354；求24+44+64+84 = （）。 A. 5654B. 5674C. 5664D. 5684 ［答案］C
［解析］24+44+64+84＝24×（14+24+34+44）＝16×354＝5664 【例34】（国家2004A类-37、国家2004B类-36）2002×20032003-2003×20022002的值是（）。 A. －60 B. 0 C. 60 D. 80 ［答案］B
［解析］原式=2002×2003×10001-2003×2002×10001=0 “循环数”核心提示
我们把类似20022002或者198198198这样的数叫做“循环数”，考生一定要熟练掌握这种数的因数分解，比如198198198=198×1001001，注意数清楚位数。 【例35】20072007×200820082008-20082008×200720072007的值是（）。 A. －560 B. 0 C. 560 D. 1000 ［答案］B
［解析］原式=2007×10001×2008×100010001-2008×10001×2007×100010001=0 【例36】（江苏2008C类-12）191919÷373737×185=（）。 A. 95B. 123C. 135D. 151 ［答案］A
［解析］原式＝（19×10101）÷（37×10101）×185＝19÷37×185＝19×（185÷37）＝19×5＝95 【例37】（北京应届2008-24）1999+1999×2+1999×3+…+1999×10的值为（）。 A. 190099B. 19099C. 19011D. 959 ［答案］D
［解析］原式可变型为1999×（1+2+3+…+10）＝1999×55＝959 第四节计算拓展题型 一、抽象函数
【例1】若实值函数f定义域为全体实数，且满足任意x，y：f（x+y）=f（x）f（y）。此时，若f（8）=4，则有f（2）=（）。 A. 0B. ±2C. 2D. 2 ［答案］C
［解析］f（8）=f（4）2=f（2）4,f（2）＝f（1）2>0?f（2）=2 二、定义运算 【例2】（江苏2009-71）对任意实数a、b、c，定义运算a*b*c＝ab-bc+ca，若1*x*2＝2，则x＝（）。
A. 2B. －2 C. 0 D. ±1
［答案］D
［解析］1*x*2=1x-x2+21=-x2+3=2，解得x=±1。
［注释］对于“定义运算”类题型，我们只需要按照条件与法则代入即可。 【例3】（江苏2008A类-12）设“*”运算法则定义如下：对任何a、b，我们有： a*b=a+ba+b≥10 a×ba+b<10，则
（1*2）＋（2*3）＋（3*4）＋ … ＋（8*9）＋（9*10）＝（）。 A. 125 B. 115 C. 105 D. 120 ［答案］B
［解析］原式=(1×2)+(2×3)+(3×4)+(4×5)+(5+6)+(6+7)+(7+8)+(8+9)+(9+10) =2+6+12+20+11+13+15+17+19=115 三、导数方程 【例4】（浙江2009 -41）已知两个数a、b的积是34，和是2，且a>b，则ab的值是（）。 A. 3 B. 72 C. 4 D. 92 ［答案］A
［解析］根据“韦达定理”，a和b是方程“x2-2x+34=0”的两个根，解得这两个根分别为32和12，由于a>b，所以a=32，b=12，所以ab=3。 【例5】（安徽2009-7）已知a+b=8,ab=-20,则（a-b）a3+（b-a）b3=（）。 A. 96B. -96C. 2096D. 12096 ［答案］D
［解析］根据“韦达定理”，a和b是方程“x2-8x-20=0”的两个根，解得这两个根分别为10和-2，代入即可得到答案（不论a=10、b=-2还是a=-2、b=10，答案都一样）。 【例6】（江苏2009A类-13）已知a2+a+1=0，则a2008+a2009+1=（）。 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 ［答案］A
［解析］a3-1=（a-1）×（a2+a+1）=0，故a3=1，a2007=（a3）669=1 原式＝a2007（a2+a+1）＝a+a2+1=0
［注释］注意本题当中的a为虚数，不是实数。 【例7】（江苏2008A类-25）某企业的净利润（单位：10万元）与产量（单位：100万件）之间的关系为：y=-13x3+x2+113，问该企业的净利润的最大值是多少万元？（） A. 5 B. 50C. 60D. 70 ［答案］B
［解析］该企业的净利润是产量的三次函数，令其导数为0，即y′=-x2+2x=0，得到x=0或者x=2两个极值点，代入原函数得到y=11/3或者y=5，所以选择5，则净利润的最大值是50万元（单位：10万元）。第三章初等数学模块 第三章初等数学模块 第一节多位数问题 基本知识点：
多位数问题是针对“一个数及其个位、十位、百位等位置上的数字，以及小数点后一位、两位、三位等位置上的数字”的问题。 核心提示
掌握数字结构与熟练代入排除法是解决“多位数问题”的核心关键。
【例1】(内蒙古2008-14)某校人数是一个三位数，平均每个班级36人，若将全校人数的百位数与十位数对调，则全校人数比实际少180人，那么原校人数最多可以达到多少人？（）