转化与化归思想
例5 在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2a，E，F分别是AB，CD的中点，EF＝3a，求异面直线AD，BC所成的角.
分析 要求异面直线AD，BC所成的角，可在空间中找一些特殊点，将AD，BC平移至一个三角形中.此题已知E，F分别为AB，CD的中点，故可寻找一边中点，如BD的中点M，则∠EMF(或其补角)为所求角.
解 如图，取BD的中点M.由题意，知EM为△BAD的中位线， 1
所以EM∥AD且EM＝AD.
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同理，MF∥BC且MF＝BC.
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所以EM＝a，MF＝a，且∠EMF(或其补角)为所求角. 在等腰△MEF中，取EF的中点N， 连接MN，则MN⊥EF. 又因为EF＝3a， 所以EN＝
3a. 2
EN3
故有sin∠EMN＝＝.
EM2
所以∠EMN＝60°，所以∠EMF＝2∠EMN＝120°. 因为∠EMF＝120°＞90°，
所以AD，BC所成的角为∠EMF的补角， 即AD和BC所成的角为60°.
反证法的合理应用
例6 如图，三棱锥P－ABC中，E是PC上异于点P的点.求证：AE与PB是异面直线.
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分析 利用定义直接证明，即从不同在任何一个平面内中的“任何”开始入手，一个平面一个平面地寻找是不可能实现的，因此必须找到一个间接证法来证明，反证法即是一种行之有效的方法.
证明 假设AE与PB不是异面直线， 设AE与PB都在平面α内， 因为P∈α，E∈α，所以PE?α. 又因为C∈PE，所以C∈α. 所以点P，A，B，C都在平面α内.
这与P，A，B，C不共面(P－ABC是三棱锥)矛盾. 于是假设不成立，所以AE与PB是异面直线.
1.若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是( ) A.共面 B.平行 C.异面 D.平行或异面
2.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是( ) A.平行或异面 B.相交或异面 C.异面 D.相交
3.设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线( ) A.有无数条 B.有两条 C.至多有两条 D.有一条
4.如图所示，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________.(填序号)
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5.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与A1B1所成角的余弦值为________.
一、选择题
1.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( ) A.一定平行 C.一定异面
B.一定相交 D.相交或异面
2.已知空间两个角α，β，α与β的两边对应平行，且α＝60°，则β等于( ) A.60° B.120° C.30° D.60°或120°
3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线BA1与CC1所成的角为( ) A.30° B.45° C.60° D.90°
4.下面四种说法：
①若直线a、b异面，b、c异面，则a、c异面； ②若直线a、b相交，b、c相交，则a、c相交； ③若a∥b，则a、b与c所成的角相等；
④若a⊥b，b⊥c，则a∥c.其中正确的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1
5.空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是( )
A.梯形 B.矩形 C.平行四边形 D.正方形
6.若空间四边形ABCD的两条对角线AC，BD的长分别是8,12，则过AB的中点E且平行于BD，AC的截面四边形的周长为( ) A.10 B.20 C.8 D.4
7.如图，三棱柱ABCA1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是( ) A.CC1与B1E是异面直线 B.C1C与AE共面 C.AE与B1C1是异面直线 D.AE与B1C1所成的角为60°
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二、填空题
8.在四棱锥P－ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有________对. 9.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD. 以上结论中正确的序号为________.
10.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成的角为______.
三、解答题
11.如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝2，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值.
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12.如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且有AE∶EB＝AH∶HD＝m，FB＝CG∶GD＝n.
E，F，G，H四点共面；
n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？ (2)的条件下，若AC⊥BD，试证明：EG＝FH.
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CF∶(1)证明：(2)m，(3)在