当堂检测答案
1.答案 D
解析 若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线. 2.答案 B
解析 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又AA1∥BB1，AA1∥DD1，显然BB1∩BC＝B，DD1与BC是异面直线，故选B.
3.答案 A
解析 我们现在研究的平台是锥空间.如图所示，过点P作直线l′∥l，以l′为轴，与l′成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角. 4.答案 ②④
解析 ①中，∵G，M是中点，∴AG綊BM，∴GM綊AB綊HN，∴GH∥MN，即G，H，M，N四点共面；②中，∵H，G，N三点共面，且都在平面HGN内，而点M显然不在平面HGN内，∴H，G，M，N四点不共面，即GH与MN异面；③中，∵G，M是中点，∴GM11
綊CD，∴GM綊HN，即GMNH是梯形，则HG，MN必相交，∴H，G，M，N四点共面；22④中，同②，G，H，M，N四点不共面，即GH与MN异面. 15.答案 3
解析 设棱长为1，因为A1B1∥C1D1， 所以∠AED1就是异面直线AE与A1B1所成的角. 在△AED1中，
1D1E21
cos∠AED1＝＝＝.
AE33
2
课时精练答案
一、选择题 1.答案 D
解析 可能相交也可能异面，但一定不平行(否则与条件矛盾).
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2.答案 D
解析 由等角定理，知β与α相等或互补，故β＝60°或120°. 3.答案 B
解析 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1∥CC1，故∠B1BA1就是异面直线BA1与CC1所成的角，故为45°. 4.答案 D
解析 若a、b异面，b、c异面，则a、c相交、平行、异面均有可能，故①不对.若a、b相交，b、c相交，则a、c相交、平行、异面均有可能，故②不对.若a⊥b，b⊥c，则a、c平行、相交、异面均有可能，故④不对.③正确. 5.答案 D
解析 如图，因为BD⊥AC，且BD＝AC，又因为E，F，G，H分别为对应边的中点，所以11
FG//EH//BD，HG//EF//AC.所以FG⊥HG，且FG＝HG.所以四边形EFGH为正方形.
22
6.答案 B
解析 设截面四边形为EFGH，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，∴EF＝GH11
＝AC＝4，FG＝HE＝BD＝6，∴周长为2×(4＋6)＝20. 227.答案 C
解析 由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E是共面的，所以A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，E为BC中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，D错误.综上所述，故选C. 二、填空题 8.答案 8
解析 以底边所在直线为准进行考察，因为四边形ABCD是平面图形，4条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线，所以共有4×2＝8(对)异面直线. 9.答案 ①③
解析 把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确.
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10.答案 60°
解析 连接BC1，A1C1，∵BC1∥AD1，∴异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角.
在△A1BC1中，A1B＝BC1＝A1C1， ∴∠A1BC1＝60°，
故异面直线A1B与AD1所成的角为60°. 三、解答题
11.解 取AC的中点F，连接EF，BF，
在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，∴EF∥CD， ∴∠BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角(或其补角).
在Rt△ABC中，BC＝2，AB＝AC，∴AB＝AC＝1， 在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝12AD＝12，∴BE＝52. 在Rt△AEF中，AF＝11122AC＝2，AE＝2，∴EF＝2. 在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝12，∴BF＝5
2. 1在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝2EF2
410
BE＝5＝10
，
2∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为1010
.
12.(1)证明 因为AE∶EB＝AH∶HD，所以EH∥BD. 又因为CF∶FB＝CG∶GD，所以FG∥DB. 所以EH∥FG.
所以E，F，G，H四点共面.
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(2)解 当且仅当EH∥FG，EH＝FG时，四边形EFGH为平行四边形. 因为EHBD＝AEAE＋EB＝mm＋1，所以EH＝mm＋1BD.
同理FG＝nn＋1BD，由EH＝FG，得m＝n.
故当m＝n时，四边形EFGH为平行四边形. (3)证明 当m＝n时，AE∶EB＝CF∶FB， 所以EF∥AC.
又因为AC⊥BD，而∠FEH是AC与BD所成的角， 所以∠FEH＝90°，从而平行四边形EFGH为矩形， 所以EG＝FH.
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