09年——16年历年全国卷（全国卷、大纲卷、新课标）圆锥曲线汇总
1．（2009?全国卷Ⅰ）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．
（Ⅰ）求r的取值范围；
（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．
【解答】解：（Ⅰ）将抛物线E：y2=x代入圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）的方程， 消去y2，整理得x2﹣7x+16﹣r2=0（1）
抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是： 方程（1）有两个不相等的正根
∴即．解这个方程组得，．
（II）设四个交点的坐标分别为
、
、
=
、
．
?（x﹣x1），y+
=
（x﹣x1），
则直线AC、BD的方程分别为y﹣解得点P的坐标为（
，0），
则由（I）根据韦达定理有x1+x2=7，x1x2=16﹣r2，则∴令
，则S2=（7+2t）2（7﹣2t）下面求S2的最大值．
由三次均值有：
当且仅当7+2t=14﹣4t，即
时取最大值．
1
经检验此时满足题意．故所求的点P的坐标为
的离心率为
，
．
，过右焦点F的直线l与C相交于
2．（2009?全国卷Ⅱ）已知椭圆
A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有坐标与l的方程；若不存在，说明理由．
【解答】解：（I）设F（c，0），直线l：x﹣y﹣c=0， 由坐标原点O到l的距离为又
，∴
成立？若存在，求出所有的P的
，
则，解得c=1
（II）由（I）知椭圆的方程为
设A（x1，y1）、B（x2，y2） 由题意知l的斜率为一定不为0，故不妨设l：x=my+1 代入椭圆的方程中整理得（2m2+3）y2+4my﹣4=0，显然△＞0． 由韦达定理有：假设存在点P，使点P在椭圆上，即
整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6． 又A、B在椭圆上，即2x12+3y12=6，2x22+3y22=6、 故2x1x2+3y1y2+3=0②
将x1x2=（my1+1）（my2+1）=m2y1y2+m（y1+y2）+1及①代入②解得∴当当
3．（2010?大纲版Ⅰ）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点K（﹣1，0）的直线l与C相交于A、B两
2
，，①
成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），
．
，x1+x2=，即；
点，点A关于x轴的对称点为D． （Ⅰ）证明：点F在直线BD上； （Ⅱ）设
，求△BDK的内切圆M的方程．
【解答】解：（Ⅰ）抛物线C：y2=4x①的焦点为F（1，0）， 设过点K（﹣1，0）的直线L：x=my﹣1， 代入①，整理得y2﹣4my+4=0，
设L与C 的交点A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=4， 点A关于X轴的对称点D为（x1，﹣y1）． BD的斜率k1=
=
=
， BF的斜率k2=
．
要使点F在直线BD上需k1=k2，
需4（x2﹣1）=y2（y2﹣y1），需4x2=y22，上式成立，∴k1=k2， ∴点F在直线BD上． （Ⅱ）
=（x1﹣1，y1）（x2﹣1，y2）=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=（my1﹣2）（my2﹣2）+y1y2=
4（m2+1）﹣8m2+4=8﹣4m2=， ∴m2=∴k1=
，m=±． y2﹣y1=，BD：y=
（x﹣1）．
=4
=
，
易知圆心M在x轴上，设为（a，0），M到x=y﹣1和到BD的距离相等， 即|a+1|×=|（
（a﹣1）|×
，
∴4|a+1|=5|a﹣1|，﹣1＜a＜1，解得a=．
∴半径r=，∴△BDK的内切圆M的方程为（x﹣）2+y2=． 4．（2010?大纲版Ⅱ）己知斜率为1的直线l与双曲线C：BD的中点为M（1，3）． （Ⅰ）求C的离心率；
（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|?|BF|=17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切． 【解答】解：（Ⅰ）由题设知，l的方程为：y=x+2，代入C的方程，并化简， 得（b2﹣a2）x2﹣4a2x﹣a2b2﹣4a2=0， 设B（x1，y1），D（x2，y2），则
相交于B、D两点，且
，
3
，①
由M（1，3）为BD的中点知故故
，即b2=3a2，② ，∴C的离心率
．
．
．
（Ⅱ）由①②知，C的方程为：3x2﹣y2=3a2，A（a，0），F（2a，0），故不妨设x1≤﹣a，x2≥a，
，
，
|BF|?|FD|=（a﹣2x1）（2x2﹣a）=﹣4x1x2+2a（x1+x2）﹣a2=5a2+4a+8． 又|BF|?|FD|=17，故5a2+4a+8=17． 解得a=1，或故
（舍去），
=6，
连接MA，则由A（1，0），M（1，3）知|MA|=3， 从而MA=MB=MD，且MA⊥x轴，
因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切， 所以过A、B、D三点的圆与x轴相切．
5．（2010?新课标）设F1，F2分别是椭圆
与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列． （1）求E的离心率；
（2）设点P（0，﹣1）满足|PA|=|PB|，求E的方程．
的左、右焦点，过F1斜率为1的直线?
【解答】解：（I）由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，又2|AB|=|AF2|+|BF2|， 得
，l的方程为y=x+c，其中
．
4
设A（x1，y1），B（x2，y2），则A、B两点坐标满足方程组
化简的（a2+b2）x2+2a2cx+a2（c2﹣b2）=0，则
因为直线AB斜率为1，|AB|=
|x1﹣x2|=
，得
，故a2=2b2
所以E的离心率
（II）设AB的中点为N（x0，y0），由（I）知
，．
由|PA|=|PB|，得kPN=﹣1，即
，
故椭圆E的方程为
．
得c=3，从而
6．（2011?新课标）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，﹣1），B点在直线y=﹣3上，M点满足∥
，
=
?
，M点的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），由已知得B（x，﹣3），A（0，﹣1）． 所
=（﹣x，﹣1﹣y），
）?
=（0，﹣3﹣y），
=（x，﹣2）．
再由题意可知（=0，即（﹣x，﹣4﹣2y）?（x，﹣2）=0． ﹣2．
﹣2上一点，因为y′=x，所以l的斜率为x0，
所以曲线C的方程式为y=
（Ⅱ）设P（x0，y0）为曲线C：y=
因此直线l的方程为y﹣y0=x0（x﹣x0），即x0x﹣2y+2y0﹣x02=0． 则o点到l的距离d=
．又y0=
﹣2，
所以d==≥2，
5