所以x02=0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2． 7．（2011?大纲版）已知O为坐标原点，F为椭圆C：﹣
的直线l与C交于A、B两点，点P满足
．
在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为
（Ⅰ）证明：点P在C上；
（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．
【解答】证明：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2） 椭圆C：
①，则直线AB的方程为：y=﹣
x﹣1=0，
则y1+y2=﹣
（x1+x2）+2=1 =（x2，y2），
=（p1，p2）；
+
）=（﹣
，﹣1）
x+1 ②
联立方程可得4x2﹣2则x1+x2=
，x1×x2=﹣
，
设P（p1，p2），则有：∴
+
=（x1，y1），
，1）；
=（x1+x2，y1+y2）=（=（p1，p2）=﹣（
∴p的坐标为（﹣，﹣1）代入①方程成立，所以点P在C上．
（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上． 设线段AB的中点坐标为（
，
），即（
，）， （x﹣
），即y=
x+；③
则过线段AB的中点且垂直于AB的直线方程为：y﹣=
∵P关于点O的对称点为Q，故0（0.0）为线段PQ的中点， 则过线段PQ的中点且垂直于PQ的直线方程为：y=﹣③④联立方程组，解之得：x=﹣③④的交点就是圆心O1（﹣r2=|O1P|2=（﹣
x④；
，y=
，），
））2+（﹣1﹣）2=
6
﹣（﹣
故过P Q两点圆的方程为：（x+把y=﹣
）2+（y﹣）2=
，y1+y2=1
…⑤，
x+1 …②代入⑤，有x1+x2=
∴A，B也是在圆⑤上的．∴A、P、B、Q四点在同一圆上． 8．（2012?大纲版）已知抛物线C：y=（x+1）2与圆且在A处两曲线的切线为同一直线l． （Ⅰ）求r；
（Ⅱ）设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D到l的距离． 【解答】解：（Ⅰ）设A（x0，（x0+1）2），
∵y=（x+1）2，y′=2（x+1）∴l的斜率为k=2（x0+1）
当x0=1时，不合题意，所以x0≠1，圆心M（1，），MA的斜率
．
（r＞0）有一个公共点A，
∵l⊥MA，∴2（x0+1）×=﹣1，∴x0=0，∴A（0，1），∴r=|MA|=；
（Ⅱ）设（t，（t+1）2）为C上一点，则在该点处的切线方程为y﹣（t+1）2=2（t+1）（x﹣t）， 即y=2（t+1）x﹣t2+1
若该直线与圆M相切，则圆心M到该切线的距离为
∴
，
∴t2（t2﹣4t﹣6）=0，∴t0=0，或t1=2+
，t2=2﹣
抛物线C在点（ti，（ti+1）2）（i=0，1，2）处的切线分别为l，m，n，其方程分别为 y=2x+1①，y=2（t1+1）x﹣②﹣③：x=代入②可得：y=﹣1
∴D（2，﹣1），∴D到l的距离为
②，y=2（t2+1）x﹣
③
9．（2012?新课标）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点； （1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为
，求p的值及圆F的方程；
（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．
【解答】解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p
7
点A到准线l的距离∵△ABD的面积S△ABD=
，∴
，
=
，解得p=2，所以F坐标为（0，1），
∴圆F的方程为x2+（y﹣1）2=8． （2）由题设
，则
，
∵A，B，F三点在同一直线m上，
又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称． 由点A，B关于点F对称得：
得：，直线
切点
，
直线
坐标原点到m，n距离的比值为10．（2013?大纲版）已知双曲线C：直线y=2与C的两个交点间的距离为（I）求a，b；
．
．
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，
（II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF1|=|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．
【解答】解：（I）由题设知=3，即所以C的方程为8x2﹣y2=8a2 将y=2代入上式，并求得x=±由题设知，2
=
，
=9，故b2=8a2
，解得a2=1，所以a=1，b=2
（II）由（I）知，F1（﹣3，0），F2（3，0），C的方程为8x2﹣y2=8 ① 由题意，可设l的方程为y=k（x﹣3），|k|＜2
代入①并化简得（k2﹣8）x2﹣6k2x+9k2+8=0
，
，于是
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1≤﹣1，x2≥1，x1+x2=|AF1|=
=﹣（3x1+1），
8
|BF1|=
|AF1|=|BF1|得﹣（3x1+1）=3x2+1，即故
=
，解得
，从而
=3x2+1，
=﹣
由于|AF2|=|BF2|=
=1﹣3x1， =3x2﹣1，
故|AB|=|AF2|﹣|BF2|=2﹣3（x1+x2）=4，|AF2||BF2|=3（x1+x2）﹣9x1x2﹣1=16 因而|AF2||BF2|=|AB|2，所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列
11．（2013?新课标Ⅰ）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C． （Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|． 【解答】解：（I）由圆M：（x+1）2+y2=1，可知圆心M（﹣1，0）；圆N：（x﹣1）2+y2=9，圆心N（1，0），半径3．设动圆的半径为R，
∵动圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，
而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆， ∴a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3． ∴曲线C的方程为
（x≠﹣2）．
（II）设曲线C上任意一点P（x，y），
由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤3﹣1=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．
①l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|=
．
②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行， 设l与x轴的交点为Q，则由l于M相切可得：
，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4）， ，解得
．
当时，联立
，得到7x2+8x﹣8=0．
9
∴，．∴|AB|=时，也有|AB|=
=
．综上可知：|AB|=
或
．
=
由于对称性可知：当
12．（2013?新课标Ⅱ）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：x+y﹣
=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为．
（a＞b＞0）右焦点的直线
（Ⅰ）求M的方程
（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）把右焦点（c，0）代入直线x+y﹣
=0得c+0﹣
=0，解得c=
．
设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点P（x0，y0）， 则
，
，相减得
，
∴，
∴，又=，∴
，即a2=2b2．
联立得，解得， ∴M的方程为．
（Ⅱ）∵CD⊥AB，∴可设直线CD的方程为y=x+t， 联立
，消去y得到3x2+4tx+2t2﹣6=0，
∵直线CD与椭圆有两个不同的交点，
∴△=16t2﹣12（2t2﹣6）=72﹣8t2＞0，解﹣3＜t＜3（*）． 设C（x3，y3），D（x4，y4），∴∴|CD|=
=
，
．
=
．
联立
得到3x2﹣4
x=0，解得x=0或，
∴交点为A（0，
），B，
10