则|MN|=
?|y1﹣y2|=
?=?=12?，
A到PQ的距离为d==，|PQ|=2=2=，
则四边形MPNQ面积为S=|PQ|?|MN|=??12?=24?=24，
当m=0时，S取得最小值12，又＞0，可得S＜24?
）．
=8，
即有四边形MPNQ面积的取值范围是[12，8
19．（2016?新课标Ⅱ）已知椭圆E：
+
=1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k（k＞0）的
直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA． （Ⅰ）当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN的面积； （Ⅱ）当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）方法一、t=4时，椭圆E的方程为
+
=1，A（﹣2，0），
直线AM的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程，整理可得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0， 解得x=﹣2或x=﹣由AN⊥AM，可得|AN|=
，则|AM|=
?
?|2﹣
=
|=?
?，
，
由|AM|=|AN|，k＞0，可得?=?，
整理可得（k﹣1）（4k2+k+4）=0，由4k2+k+4=0无实根，可得k=1，
16
即有△AMN的面积为|AM|2=（
?
）2=
；
方法二、由|AM|=|AN|，可得M，N关于x轴对称，
由MA⊥NA．可得直线AM的斜率为1，直线AM的方程为y=x+2， 代入椭圆方程
+
=1，可得7x2+16x+4=0，
），N（﹣，﹣
；
），
解得x=﹣2或﹣，M（﹣，则△AMN的面积为×
×（﹣+2）=
（Ⅱ）直线AM的方程为y=k（x+可得（3+tk2）x2+2t
），代入椭圆方程，
或x=﹣
，
k2x+t2k2﹣3t=0，解得x=﹣
即有|AM|=|AN|═
?
?|
=
?
﹣|=，
?，
由2|AM|=|AN|，可得2?=?，整理得t=，
由椭圆的焦点在x轴上，则t＞3，即有可得
＜k＜2，即k的取值范围是（
＞3，即有，2）．
＜0，
20．（2016?新课标Ⅲ）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．
（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程． 【解答】（Ⅰ）证明：连接RF，PF，
由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°， ∴∠PFQ=90°， ∵R是PQ的中点， ∴RF=RP=RQ， ∴△PAR≌△FAR，
∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，
∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR，
17
∴∠FQB=∠PAR， ∴∠PRA=∠PQF， ∴AR∥FQ．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）， F（，0），准线为 x=﹣， S△PQF=|PQ|=|y1﹣y2|， 设直线AB与x轴交点为N，∴S△ABF=|FN||y1﹣y2|，
∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，∴2|FN|=1，∴xN=1，即N（1，0）． 设AB中点为M（x，y），由
得
=2（x1﹣x2），
又=，∴
=，即y2=x﹣1．∴AB中点轨迹方程为y2=x﹣1．
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