（2）求∠ABC的大小．
考点： 余弦定理；正弦定理． 专题： 解三角形．
分析： （1）在三角形ABD中，利用正弦定理求出BD的长，在三角形BCD中，利用余弦定理求出BC的长即可；
（2）在三角形BCD中，利用正弦定理求出sin∠DBC的值，进而确定出∠DBC的度数，根据∠ABD+∠DBC求出∠ABC度数即可．
解答： 解：（1）在△ABD中，由正弦定理得=，即=，
解得：BD=，
2222
在△BCD中，由余弦定理得：BD=BC+CD﹣2BC?CDcos∠BCD，即6=BC+4﹣2BC， 解得：BC=1+或BC=1﹣（舍去）， 则BC的长为1+；
（2）在△BCD中，由正弦定理得
=
，即
=
，
解得：sin∠DBC=，
∴∠DBC=45°或135°，
在△BCD中，∠BCD=60°， ∴∠DBC=45°，
∵∠ABD=180°﹣135°﹣30°=15°， ∴∠ABC=60°．
点评： 此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．
17．已知函数f（x）=x﹣（a+3）x+2+2a（a∈R）． （1）若对于x∈R，f（x）≥0恒成立，求实数a的值； （2）当a∈R时，解关于x的不等式f（x）＜a．
考点： 函数恒成立问题．
专题： 分类讨论；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
2
分析： （1）由题意可得判别式（a+3）﹣4（2+2a）≤0，解不等式即可得到a=1；
2
（2）求得方程x﹣（a+3）x+2+a=0的两根为1，2+a，讨论a＞﹣1，a=﹣1，a＜﹣1，由二次不等式的解法即可得到解集． 解答： 解：（1）对于x∈R，f（x）≥0恒成立，
2
即有判别式（a+3）﹣4（2+2a）≤0，
2
即有（a﹣1）≤0，
2
由（a﹣1）≥0，可得a=1；
2
（2）不等式f（x）＜a．即为x﹣（a+3）x+2+a＜0，
2
由于x﹣（a+3）x+2+a=0的两根为1，2+a，
当a＞﹣1时，2+a＞1，不等式的解集为（1，2+a）； 当a=﹣1时，2+a=1，不等式的解集为?；
当a＜﹣1时，2+a＜1，不等式的解集为（2+a，1）． 综上可得，当a＞﹣1时，不等式的解集为（1，2+a）； 当a=﹣1时，不等式的解集为?；
当a＜﹣1时，不等式的解集为（2+a，1）． 点评： 本题考查二次不等式的解法，同时考查不等式恒成立问题，注意运用判别式小于等于0，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．
18．（16分）已知正数数列{an}满足：数列{a2n﹣1}是首项为1的等比数列，数列{a2n}是首项
*
为2的等差数列．设数列{an}的前n项和为Sn（n∈N），已知S3=a4，a2+a3+a5=a6． （1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{an}的前2m项和S2m．
考点： 等差数列与等比数列的综合． 专题： 等差数列与等比数列．
2
分析： （1）设数列{a2n﹣1}是首项为1，公比为q的等比数列，数列{a2n}是首项为2，公差为d的等差数列，运用等比数列和等差数列的通项公式，列方程，解得q，d，即可得到通项公式；
（2）运用数列的求和方法：分组求和，由等比数列和等差数列的求和公式，化简即可得到． 解答： 解：（1）设数列{a2n﹣1}是首项为1，公比为q的等比数列， 数列{a2n}是首项为2，公差为d的等差数列， 由S3=a4，a2+a3+a5=a6．
2
即有3+q=2+d，2+q+q=2+2d，
解得q=2，d=3或q=﹣1，d=0（舍去）， 则有an=
；
（2）S2m=（a1+a3+a5+…+a2m﹣1）+（a2+a4+a6+…+a2m）
m﹣1
=（1+2+4+…+2）+[2+5+8+…+（3m﹣1）] =
m
+
2
=2﹣1+m+m．
点评： 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查运算能力，注意运用分组求和，属于中档题． 19．（16分）某单位因工作需要，要制作一批操作台面，台面上有两块大小相同的长方形钢
2
化玻璃（图中阴影部分），每块钢化玻璃的面积为1800cm，每块钢化玻璃需能放置半径为
15cm的圆形器皿，每块钢化玻璃周围与操作台边缘要留20cm空白，两块钢化玻璃的间距为50cm，设钢化玻璃长为xcm，操作台面面积为S．
（1）当操作台面长与宽分别为多少时，操作台面面积最小；
（2）若每块钢化玻璃长至少比宽多14cm，则操作台面长与宽分别为多少时，操作台面面积最小？
考点： 基本不等式在最值问题中的应用．
专题： 计算题；应用题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
分析： （1）设宽为cm，从而化简S=（2x+90）（+40）=80x++7200，
从而由基本不等式求解即可； （2）由题意可知
≤x﹣14，从而可得50≤x≤60，可判断函数S=（2x+90）（
+40）
在[50，60]上单调递增，从而求最值． 解答： 解：（1）由题意，宽为S=（2x+90）（≥2
（当且仅当80x=
+40）=80x++7200=14400．
，即x=45时，等号成立）；
cm，
+7200
∵，
∴30≤x≤60，
∴当x=45时，操作台面面积最小；此时操作台面长与宽分别为180cm，80cm． （2）由题意，解得，x≥50； ∴50≤x≤60， ∵函数S=（2x+90）（
+40）在[50，60]上单调递增，
2
≤x﹣14，
∴当x=50时，操作台面面积最小，最小值为14440cm， 此时，操作台面长为190cm，宽为76cm．
点评： 本题考查了基本不等式在实际问题中的应用及函数的单调性的判断与应用，属于中档题．
20．（16分）已知数列{an}和{bn}满足：a1=λ，an+1=2an+n，bn=2（an+n+1），cn=（4+2an﹣an+1）bn，其中λ为实数，n为正整数．
（1）若a1、b2、a3成等差数列，求λ的值；
（2）试判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；
（3）当λ=﹣1时，设Tn为数列{cn}的前n项和，求Tn及Tn的最大值．
考点： 数列的求和．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： （1）表示出a2=2λ+1，a3=4λ+4，b2=4λ+8，运用等差中项求解即可得出λ=﹣4， （2）运用递推关系式得出bn+1=2（an+1+n+2）=2（2an+2n+2）=2bn，项为0与否分类讨论判断等比数列问题．
（3）得出Tn=3×2+2×2+1×2+…+（4﹣n）2，运用错位相减法求解T﹣10，再根据关于n的函数的单调性判断最大项即可． 解答： 解；（1）由题意得a2=2λ+1，a3=4λ+4，b2=4λ+8， ∵a1、b2、a3成等差数列， ∴8λ+16=λ+4λ+4， 解得：λ=﹣4，
（2）∵bn=2（an+n+1），
∴bn+1=2（an+1+n+2）=2（2an+2n+2）=2bn， ∵b1=2（λ+2），
∴当λ=﹣2时，数列{bn}不是等比数列， 当λ≠﹣2时，数列{bn}是等比数列．
（3）当λ=﹣1时，数列{bn}是等比数列，其中b1=2，
n
∴bn=2，
∵cn=（4+2an﹣an+1）bn，
n
∴cn=（4﹣n）2，
123n
∴Tn=3×2+2×2+1×2+…+（4﹣n）2，①
234n+1
2Tn=3×2+2×2+1×2+…+（4﹣n）2，②
234nn+1
②﹣①得出：Tn=﹣6+2+2+2+…+2+（4﹣n）2 =﹣8+从而TT
+（4﹣n）2
+1=（4﹣n）2
n+2
n+1
123n
n+2
+1=（4﹣n）2
=（5﹣n）2
n+1
﹣10，
﹣10，
n+1
， +1﹣Tn=（3﹣n）2
+1＞Tn，数列{Tn}是单调递增，
∴当1≤n＜3时，T当n=3时，T当n＞3时，T
+1=Tn．即T4=T3，
+1﹣Tn＜0，数列{Tn}是单调递减，
∴当n=3，n=4时，Tn最大，此时Tn=22．
点评： 本题综合考查了数列的定义性质，知三求而的题型，分类讨论，错位相减思想的运用，考查了运算化简的能力，属于难题．