【解答】解：（1）∵抛物线y=ax+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），点B（4，0），点D（2，4），
∴设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4）， ∴﹣8a=4， ∴a=﹣，
∴抛物线解析式为y=﹣（x+2）（x﹣4）=﹣x+x+4； （2）如图1，
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①点E在直线CD上方的抛物线上，记E′， 连接CE′，过E′作E′F′⊥CD，垂足为F′， 由（1）知，OC=4， ∵∠ACO=∠E′CF′，
∴tan∠ACO=tan∠E′CF′， ∴
=，
设线段E′F′=h，则CF′=2h， ∴点E′（2h，h+4） ∵点E′在抛物线上， ∴﹣（2h）+2h+4=h+4， ∴h=0（舍）h= ∴E′（1，），
②点E在直线CD下方的抛物线上，记E， 同①的方法得，E（3，）， 点E的坐标为（1，），（3，） （3）①CM为菱形的边，如图2，
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在第一象限内取点P′，过点
P′作P′N′∥y轴，交BC于N′，过点P′作P′M′∥BC， 交y轴于M′，
∴四边形CM′P′N′是平行四边形， ∵四边形CM′P′N′是菱形， ∴P′M′=P′N′，
过点P′作P′Q′⊥y轴，垂足为Q′， ∵OC=OB，∠BOC=90°， ∴∠OCB=45°， ∴∠P′M′C=45°，
设点P′（m，﹣m+m+4），
在Rt△P′M′Q′中，P′Q′=m，P′M′=m， ∵B（4，0），C（0，4），
∴直线BC的解析式为y=﹣x+4， ∵P′N′∥y轴， ∴N′（m，﹣m+4）， ∴P′N′=﹣m+m+4﹣（﹣m+4）=﹣m+2m， ∴
m=﹣m+2m，
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∴m=0（舍）或m=4﹣2，
菱形CM′P′N′的边长为（4﹣2）=4②CM为菱形的对角线，如图3，
﹣4．
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在第一象限内抛物线上取点P，过点P作PM∥BC，
交y轴于点M，连接CP，过点M作MN∥CP，交BC于N， ∴四边形CPMN是平行四边形，连接PN交CM于点Q， ∵四边形CPMN是菱形，
∴PQ⊥CM，∠PCQ=∠NCQ， ∵∠OCB=45°， ∴∠NCQ=45°， ∴∠PCQ=45°，
∴∠CPQ=∠PCQ=45°， ∴PQ=CQ，
设点P（n，﹣n+n+4）， ∴CQ=n，OQ=n+2， ∴n+4=﹣n+n+4，
∴n=0（舍），
∴此种情况不存在．
∴菱形的边长为4﹣4．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求抛物线解析式，菱形的性质，平行四边形的性质，判定，锐角三角函数，解本题的关键是用等角的同名三角函数值相等建立方程求解．
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参与本试卷答题和审题的老师有：1987483819；HJJ；wd1899；sks；三界无我；zgm666；lantin；曹先生；HLing；caicl；弯弯的小河；fangcao；nhx600；gbl210；wdzyzmsy@126.com；星月相随（排名不分先后） 菁优网
2016年7月8日
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