静安杨浦青浦宝山2013学年度联合高考模拟考试
文理科数学试卷
（满分150分，完卷时间120分钟） 2014.4
一、填空题 (本大题共有14题，满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结
果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1.二阶行列式
1?i01?i1?i的值是 . （其中i为虚数单位）
??2. 已知i,j是方向分别与x轴和y轴正方向相同的两个基本单位向量，则平面向量i?j的模等于 .
3．二项式(x?1)7的展开式中含x3项的系数值为_______________.
4.已知圆锥的母线长为5,侧面积为15?,则此圆锥的体积为__________.(结果中保留?) 5.已知集合A?yy?sinx,x?R，B?xx?2n?1,n?Z，则A????B? . 理6文7.在平面直角坐标系xOy中，若圆x2?(y?1)2?4上存在A，B两点，且弦AB的中点为P(1,2)，则直线AB的方程为 .
（文）若x?(??,?)，则方程3sin2x?cos2x?1的解是_____________. 理7文8.已知log2x?log2y?1，则x?y的最小值为_____________.
理8文10. 已知首项a1?3的无穷等比数列?an?(n?N)的各项和等于4，则这个数列?an?*的公比是 ．
9．（理）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为??x?2cos?,（?为参数），O为
?y?2sin?,坐标原点，M为C1上的动点，P点满足OP?2OM，点P的轨迹为曲线C2．则C2的参数方程为 .
开始 ?x?2y?4,?2x?y?3,?（文）满足约束条件?的目标函数
?x?0,??y?0,f?x?y的最小值为_______.
x?1,y?1z?x?yz?20是 否 输出10. 阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的
x?y结果为 .
y?z11．（理）从5男和3女8位志愿者中任选3人参加冬 第10题
1
y x结束 图
奥会火炬接力活动，若随机变量ξ表示所选3人中女志愿者的人数，则ξ的数学期望是 ．
（文）在平面直角坐标系xOy中，若中心在坐标原点的双曲线过点?2,3?，且它的一个顶点与抛物线y2?4x的焦点重合，则该双曲线的方程为 .
12．（理）设各项均不为零的数列?cn?中，所有满足ci?ci?1?0的正整数i的个数称为这个数列?cn?的变号数.已知数列?an?的前n项和Sn?n2?4n?4，bn?1?则数列?bn?的变号数为 .
（文）从5男3女8位志愿者中任选3人参加冬奥会火炬接力活动，所选3人中恰有两位女志愿者的概率是 ．
13.（理）已知定义在?0,???上的函数f(x)满足f(x)?3f(x?2).当x??0,2?时
4（n?N*），anf(x)??x2?2x.设f(x)在?2n?2,2n?上的最大值为an，且数列{an}的前n项和为Sn，则limSn? . （其中n?N*）
n??（文）若三个数a,1,c成等差数列（其中a?c），且a2,1,c2成等比数列，则lim(n??a?cn)22a?c的值为 ．
14．（理）正方形S1和S2内接于同一个直角三角形ABC中，如图所示，设?A??，若
S1?441，S2?440，则sin2?? .
A
A
?F
S1
C
?D
F M
E
B
C
Q
P
S2
B
N
?x,0?x?1,?（文） 函数f(x)的定义域为实数集R，f(x)??1x对于任意的x?R()?1,?1?x?0.??2都有f(x?1)?f(x?1).若在区间[?1,3]上函数g(x)?f(x)?mx?m恰有四个不同的零点，则实数m的取值范围是 .
二、选择题(本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相
应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15. （理）在实数集R上定义运算?：x?y?x?(1?y)．若关于x的不等式x?(x?a)?0
2
的解集是集合{x|?1?x?1}的子集，则实数a的取值范围是???????（ ）.
(A)[0,2] (B) [?2,?1)(?1,0] (C) [0,1)(1,2] (D)[?2,0 ]
（文） 不等式
x?1?2的解集为?????????????????（ ）. x(A) {x|x??1或x?0} (B) {x|x??1} (C) {x|x??1} (D) {x|?1?x?0}
16．“??1”是“函数f(x)?sin2?x?cos2?x的最小正周期为?”的????（ ）.
(A) 充分必要条件 (B)充分不必要条件 (C)必要不充分条件 (D)既不充分又必要条件
17. 若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为S1、S2,则
S1:S2=????????????????????????（ ）.
(A) 1:1 (B)2:1 (C) 3:2 (D) 4:1
?x,0?x?1,?18.（理）函数f(x)的定义域为实数集R，f(x)??1x对于任意的
()?1,?1?x?0.??2x?R都有f(x?1)?f(x?1).若在区间[?1,3]上函数g(x)?f(x)?mx?m恰有四个不同的零点，则实数m的取值范围是????????????????（ ）.
?1?(A)?0,? (B)?2??1? ?1? ?1?
(C)(D)0,0,???0,???42?????4?（文）已知向量a，b满足：|a|?|b|?1，且|ka?b|?3|a?kb|（k?0）．则向量a与
向量b的夹角的最大值为 ???????????? （ ）.
(A)?2??5? (B) (C) (D)
3636
三、解答题(本大题共有5题，满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域
内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）
（理）如图，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是平行四边形，?CAD?90?，PA?平面ABC，PA?BC?1，
AB?2，F是BC的中点.
(1) 求证：DA?平面PAC；
（2）若以A为坐标原点，射线AC、
PAD、AP分别是x轴、y轴、z轴的
AD正半轴，建立空间直角坐标系，已经计
B3 FC算得n?(1,1,1)是平面PCD的法向量，求平面PAF与平面PCD所成锐二面角的余弦值.
（文）已知几何体由正方体和直三棱柱组成，其三视图和直观图（单位：cm）如图所
PD所成的角为?，求cos?的值． 示．设两条异面直线AQ1和
P A1 2 2 A 正视图
B D Q P P D1 D1 1 2 2 侧视图
A P 1 A1 2 Q B1 C1
A1 DA B第19题图 Q C1 B1 C2 B1
D1 2 A1
俯视图
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
某公司承建扇环面形状的花坛如图所示，该扇环面花坛是由以点O为圆心的两个同心圆弧AD、弧BC以及两条线段AB和CD围成的封闭图形．花坛设计周长为30米，其中大圆弧AD所在圆的半径为10米．设小圆弧BC所在圆的半径为x米（0?x?10），圆心角为?弧度． （1）求?关于x的函数关系式；
（2）在对花坛的边缘进行装饰时，已知两条线段的装饰费用为4元/米，两条弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，当x为何值时，y取得最大值？
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分
A BC? O (第20题图)
D
x2y2（理）已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的右焦点为F(1,0)，短轴的端点分别为
abB1,B2,且FB1?FB2??a.
（1）求椭圆C的方程；
4
（2）过点F且斜率为k(k?0)的直线l交椭圆于M,N两点，弦MN的垂直平分线与x轴相交于点D.设弦MN的中点为P，试求
DPMN的取值范围．
x2y2（文）已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?的右焦点F(1,0)，长轴的左、右端点分别
ab. 为A1,A2,且FA1?FA2??1（1）求椭圆C的方程；
（2）过焦点F斜率为k（k?0）的直线l交椭圆C于A,B两点，弦AB的垂直平分线与x轴相交于D点. 试问椭圆C上是否存在点E使得四边形ADBE为菱形？若存在，求
k的值；若不存在，请说明理由.
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3
小题满分6分
（理）设函数g(x)?3x，h(x)?9x.
（1） 解方程：x?log3(2g(x)?8)?log3(h(x)?9)； （2）令p(x)?g(x)g(x)?3，q(x)?3，求证：
h(x)?3p(12201220131220122013)?p()???p()?p()?q()?q()???q()?q()20142014201420142014201420142014（3）若f(x)?g(x?1)?a是实数集R上的奇函数，且f(h(x)?1)?f(2?k?g(x))?0g(x)?b对任意实数x恒成立，求实数k的取值范围.
?a1?2,?（文）已知数列{an}满足?a2?8,（c为常数，n?N*）
?a?a?ca,(n?2).n?1n?n?1（１）当c?2时，求an； （２）当c?1时，求a2014的值；
（3）问：使an?3?an恒成立的常数c是否存在？并证明你的结论．
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3
小题满分8分
5