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a2n＋3＋a2n－1＝2a2n＋1＋8
于是[a2(n＋1)＋1－a2(n＋1)－1]－(a2n＋1－a2n－1)＝8 即 bn＋1－bn＝8
所以{bn}是公差为8的等差数列………………………………………………5分 (3)由(1)(2)解答可知{bn}是首项为b1＝a3－a1＝6,公差为8的等差数列 则bn＝8n－2，即a2n+=1－a2n－1＝8n－2 另由已知(令m＝1)可得
w_w w. k#s5_u.c o*ma2n?1?a1-(n－1)2. 2a?a2n?1那么an＋1－an＝2n?1－2n＋1
28n?2 ＝－2n＋1
2an＝
w_w w. k#s5_u.c o*m ＝2n
－
于是cn＝2nqn1.
当q＝1时，Sn＝2＋4＋6＋……＋2n＝n(n＋1)
－
当q≠1时，Sn＝2·q0＋4·q1＋6·q2＋……＋2n·qn1. 两边同乘以q，可得
qSn＝2·q1＋4·q2＋6·q3＋……＋2n·qn. 上述两式相减得
－
(1－q)Sn＝2(1＋q＋q2＋……＋qn1)－2nqn
w_w w. k#s5_u.c o*m1?qn ＝2·－2nqn
1?q1?(n?1)qn?nqn?1 ＝2·
1?qnqn?1?(n?1)qn?1所以Sn＝2·
(q?1)2?n(n?1)(q?1)?综上所述，Sn＝?nqn?1?(n?1)qn?1…………………………12分
2?(q?1)?(q?1)2?
（2010天津文数）（22）（本小题满分14分）
在数列?an?中，a1=0，且对任意k?N，a2k?1,a2k,a2k+1成等差数列，其公差为2k.
*（Ⅰ）证明a4,a5,a6成等比数列； （Ⅱ）求数列?an?的通项公式；
32232n22n?2）（Ⅲ）记Tn?. ??????，证明?2n?Tn?（2a2a3an本站部分信息资源来源于网络，仅供学习究探讨收藏之用，版权归原作者所有！
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【解析】本小题主要考查等差数列的定义及前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法，满分14分。
（I）证明：由题设可知，a2?a1?2?2，a3?a2?2?4，a4?a3?4?8，a5?a4?4?12，
a6?a5?6?18。
从而
a6a53??，所以a4，a5，a6成等比数列。 a5a42（II）解：由题设可得a2k?1?a2k?1?4k,k?N*
所以a2k?1?a1??a2k?1?a2k?1???a2k?1?a2k?3??...?a3?a1? ?4k?4?k?1??...?4?1 ?2k?k?1?,k?N*.
由a1?0，得a2k?1?2k?k?1? ，从而a2k?a2k?1?2k?2k2.
?n2?1n,n为奇数2??1?1??n?2所以数列?an?的通项公式为an??或写为an?，n?N*。 ?224?n,n为偶数??2（III）证明：由（II）可知a2k?1?2k?k?1?，a2k?2k2， 以下分两种情况进行讨论：
（1） 当n为偶数时，设n=2m?m?N*?
k2若m?1，则2n???2，
k?2akn若m?2，则
mm2k?m?1?2k?1??k24k2m?14k2?4k?1??????2?? ?aaa2k2kk?1??k?2kk?1k?1k?1k?12k2k?1nm?1?4k2?4k?1?1?11????2m?2?? ?2m???????? ?2kk?12kk?12kk?1????????k?1?k?1?m?122 ?2m?2?m??1?1?1?31?1?n2??. ??2?m?2n本站部分信息资源来源于网络，仅供学习究探讨收藏之用，版权归原作者所有！
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nk2313k2所以2n????，从而?2n???2,n?4,6,8,....
2n2k?2akk?2akn（2） 当n为奇数时，设n?2m?1?m?N*?。
?2m?1?k22mk2?2m?1?31???4m??? ??aaa22m2mm?1??k?2kk?2k2m?1n221131 ?4m???2n??22?m?1?2n?1nk2313k2所以2n??，从而?2n?????2,n?3,5,7,....
a2n?12ak?2kk?2kn综合（1）和（2）可知，对任意n?2,n?N*,有
（2010天津理数）（22）（本小题满分14分）
3?2n?Tn?2. 2在数列?an?中，a1?0，且对任意k?N.a2k?1，a2k，a2k?1成等差数列，其公差为dk。
*（Ⅰ）若dk=2k，证明a2k，a2k?1，a2k?2成等比数列（k?N） （Ⅱ）若对任意k?N，a2k，a2k?1，a2k?2成等比数列，其公比为qk。
【解析】本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。满分14分。 （Ⅰ）证明：由题设，可得a所以a**?a?4k,k?N*。 2k?12k?12k?1?a1?(a?a)?(a?a)?...?(a3?a1)
2k?12k?12k?12k?3=4k?4(k?1)?...?4?1 =2k(k+1) 由a1=0，得a?2k(k?1),从而a?a?2k?2k2,a?2(k?1)2.
2k?12k2k?12k?2aaak?1a2k?2k?12k?12k?2?,?,所以?2k?1。 于是akakaa2k2k?12k?12k所以dk?2k时，对任意k?N,a*2k,a,a成等比数列。
2k?12k?2本站部分信息资源来源于网络，仅供学习究探讨收藏之用，版权归原作者所有！
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（Ⅱ）证法一：（i）证明：由a2k?1,a2k,a,a成等差数列，及a,a成等
2k?12k2k?12k?2aa2k?1?a?a,2??2k?1?1?qk 比数列，得2a2k2k?12k?1aaq2k2kk?1当q1≠1时，可知qk≠1，k?N 从而
*1qk?1?2?11qk?1?1?1?1,即1??1(k?2)
q?1qq?1k?1k?1k?11??1??
所以??是等差数列，公差为1。
q?1??k??
（Ⅱ）证明：a1?0，a2?2，可得a3?4，从而q1?4?2,1=1.由（Ⅰ）有 2q?111qk?1?1?k?1?k,得qk?k?1,k?N*
k2aaa（）*所以2k?2?2k?1?k?1,从而2k?2?k?21,k?N
aakak2k?12k2k因此，
aaak2(k?1)22222k2k?2k?1?2k(k?1),k?N*4a2k?......a?.....2?2k.a?a.2k?12kkaaa2(k?1)2(k?2)2122k?22k?42以下分两种情况进行讨论：
（1） 当n为偶数时，设n=2m(m?N)
*k2若m=1,则2n???2.
ak?2kn若m≥2，则
k2m(2k)2m?1(2k?1)2m4k2??????2+ ?a2k?1k?2akk?1a2kk?1k?12knm?1m?1?4k2?4k?4k2?4k?11?1?11???2m?????2m?2?????2?kk?1??2k(k?1)????k?12k(k?1)k?1?2k(k?1)k?1??m?1
1131?2m?2(m?1)?(1?)?2n??2m2n.本站部分信息资源来源于网络，仅供学习究探讨收藏之用，版权归原作者所有！
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nk2313k2所以2n????,从而?2n???2,n?4,6,8...
2n2k?2akk?2akn(2)当n为奇数时，设n=2m+1（m?N）
*k22mk2(2m?1)31(2m?1)2 ????4m????a2m?122m2m(m?1)k?2akk?2akn21131 ?4m???2n??22(m?1)2n?1nk2313k2所以2n??·· ??,从而?2n???2,n?3,5,7·
a2n?12ak?2kk?2knn3k2综合（1）（2）可知，对任意n?2,n?N,有?2n???2
2k?2ak?证法二：（i）证明：由题设，可得dk?a2k?1?a2k?qka2k?a2k?a2k(qk?1),
dk?1?a2k?2?a2k?1?qk2a2k?qka2k?a2kqk(qk?1),所以dk?1?qkdk
qk?1?a2k?3a2k?2?dk?1ddq?1 ??1?2k?1?1?k?1?ka2k?2a2k?2qka2kqka2kqkq11?k??1，
qk?1?1qk?1qk?1qk?11?由q1?1可知qk?1,k?N*。可得
所以??1??是等差数列，公差为1。
?qk?1?（ii）证明：因为a1?0,a2?2,所以d1?a2?a1?2。
?1?a31所以a3?a2?d1?4，从而q1??2，?1。于是，由（i）可知所以??是公
q?1a2q1?1?k?差为1的等差数列。由等差数列的通项公式可得
k?11= 1??k?1??k，故qk?。
kqk?1从而
dk?1k?1?qk?。 dkkdkdddkk?12?k.k?1........2?.......?k，由d1?2，可得 d1dk?1dk?2d1k?1k?21所以
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