第3课 正弦函数、余弦函数的图象与性质
区庄 陈龙
【教学目标】 一、知识目标
1、理解并掌握用单位圆作正弦函数、余弦函数的图象的方法； 2、理解并掌握用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象的方法； 3、掌握并学会求正、余弦函数的定义域和值域、周期和最小正周期；
4、理解并掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断，并能求出正、余弦函数的单调区间． 二、能力目标 通过本节的学习培养学生的化归能力、转化思想． 三、情感目标
通过本节的学习了解三角函数图象的对称美与曲线美． 【教学重点】
正弦函数和余弦函数的图象及其定义域和值域、周期、奇偶性与对称性以及单调性． 【教学难点】
1、利用正弦线画出函数y?sinx,数与最小正周期意义的理解；
2、正弦函数和余弦函数的图象与性质的初步运用． 【知识点梳理】 一、正弦、余弦函数图象 -4?-3? -6?-5? -5?-3?-4? -6? 的图象，利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线，周期函
y1-2?-?o-1y1-2?-?-1y=sinx?2?3?4?5?6?xy=cosx?2?3?4?5?6?x
1/15
二、正弦函数和余弦函数的性质
1、周期函数的定义：对于函数f (x)，如果存在一个非零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f (x+T)=f (x)，那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
（1）若f(x)周期为T，则kT，k?Z*也是f(x)的周期．
因为：f(x)?f(x?T)?f(x?2T)??f(x?kT)．
（2）一般结论：函数y?Asin(?x??)及函数y?Acos(?x??)，x?R的周期T?2．定义域和值域、奇偶性、对称性、单调性
图 象 2?． |?|y?sinx y?cosx 定义域 值域 当x?2k??最值 当x?2k??奇偶性 R R ??1,1? ?2??1,1? 当x?2k??k???时，ymax?1； 当x?2k????k???时，ymin??1．偶函数 对称中心：函数图象与x轴交点?k???时，ymax?1； ?k???时，ymin??1．奇函数 ?2对称中心：函数图象与x轴交点?k?,0??k???； 对称性 对称轴：x?k?????k??,0??k???； ?2???2?k???（通过函对称轴：x?k??k???（通过函数图象最高（低）点） 数图象最高（低）点） ????2k??,2k??在??k???上是在?2k???,2k???k???上是增函数；? 22??单调性 增函数； 在?2k??减函数． 2/15
???2,2k??3??在?2k?,2k?????k???上是减函k??上是??2??数． 【典型例题】
题型一、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 例题1：画出下列函数的简图：
（1）（2）
， ，
； ．
【解析】（1）按五个关键点列表
利用五点法作出简图：
0 0 1 1 2 0 1 0 1 －1 0
请说出函数答：函数
（2）按五个关键点列表
利用五点法作出简图： 0 1 －1 0 0 －1 1 0 0 1 －1 ，与
的图象之间有何联系？ 的图象可由
，
的图象向上平移1个单位得到．
y?cosx，
与，的图象有何联系？
答：它们的图象关于轴对称．
【点评】三角函数作图中五点作图法最常用，要牢记五个关键点的选取特点．
3/15
变式1：（1）在同一直角坐标系下，用五点法分别作出下列函数的图象：
①，； ②，．
（2）你能判断函数y?|sinx|和y?sinx、y?sin(x?（3）画出下列函数的简图：
①
，
； ②
，
3?)和y?cosx的图象有何关系吗？ 2； ③，．
【解析】（1）
（2）将函数y?sinx的图象的x轴以下部分向上翻折得到y?|sinx|的图象；
y?sin(x?3?3??)?sin[(x?)?2?]?sin(x?)?cosx和y?cosx这两个函数相等，图象重合． 222（3）
例题2：观察正弦曲线和余弦曲线，写出满足下列条件的的区间．
（1）sinx?0，（2）sinx?0，（3）cosx?0，（4）cosx?0，（5）2sinx?1?0． 【解析】（1）
（3）
，，
， （2）， （4）
，
， ，
（5）2sinx?1?0，即 sinx??1．在一周期2
．
上符合条件的角为，
∴符合条件的角为
【点评】由正弦曲线和余弦曲线得一周期的解再加2kπ．
4/15
题型二、定义域与值域
例题3：求函数f(x)?1?2cosx?lg(2sinx?1)的定义域．
5?1????2k??x??2k?,k?Zcosx???1?2cosx?0???332??【解析】由题意得：?，解得?，
2sinx?1?01?5???sin???2k??x??2k?,k?Z??26??6即x?[?3?2k?,5??2k?),k?Z． 6由于y?sinx,y?cosx的周期都是2k?,k?Z，所以先在[0,2?)内求出不等式组解集交集[后，再加上2k?,k?Z．
?5?,)36【点评】解三角不等式时，一般是将相位视为一个整体，利用相关函数图象（由函数名决定），可先画出相关曲线，确定相位的值或相应的取值范围，列方程或不等式，最后解出自变量x的值或取值范围即可． 变式2：求下列函数的定义域、值域：
（1）【解析】（1）
（2）由又∵∴定义域为（3）由又由∴∴定义域为
（
），值域为 或
．
，∴
（
），值域为
（
． ），
； （2） ，y?[1,3]；
（
）
； （3）
．
【点评】求值域应注意用到 有界性的条件．
例题4：函数y?2a?bsinx的最大值是3，最小值是1，求函数y??4asin的x的取值．
【解析】因为?1?sinx?1，则
bx的最大值和最小值及相应2?2a?b?1?a?1??（1）当b?0时，2a?b?2a?bsinx?2a?b，即?；
2a?b?3b?1???2a?b?1?a?1??（2）当b?0时，2a?b?2a?bsinx?2a?b，即?，
2a?b?3b??1??故，(1)y??4asinb11?x??4sinx，当x???2k?,即x????4k?时，最大值ymax?4， 22225/15