当
1?x??2k?,即x???4k?时，最小值ymin??4； 22b11?x?4sinx，当x??2k?,即x???4k?时，最大值ymax?4， 2222（2）y??4asin当
1?x???2k?,即x????4k?时，最小值ymin??4． 22 或
有界性的条件．
，求函数y的值域．
．将其看做关于
的二次函数，注意到
，
【点评】最值问题应注意用到变式3：已知函数 【解析】
∴当时，，当时， ，
∴．
【点评】y?asin2x?bsinx?c或y?acos2x?bcosx?c的函数，一般利用换元法（令t?sinx或
t?cosx）化为二次函数，利用二次函数的相关知识求解，但需注意中间变量t的取值范围．
例题5：比较大小：
（1）sin1100,sin1500； （2）tan2200,tan2000．
【解析】（1）sin1100?sin700,sin1500?sin300,而sin700?sin300,?sin1100?sin1500；
（2）tan2200?tan400,tan2000?tan200,而tan400?tan200,?tan2200?tan2000． 【点评】比较大小时注意脱周--化锐，再利用函数的单调性比较 变式4：比较大小：
（1）2tan?3,2tan2?3； （2）sin1,cos1
?2?tantan2?【解析】（1）tan?tan,?23?23；
33?（2）
?4?1??2,?sin1?cos1．
例题6：要使下列各式有意义应满足什么条件？
（1）
； （2）
．
【解析】（1）由 ，，
∴当 时，式子有意义．
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（2）由∴当
时，式子有意义．
，即
题型三、三角函数的奇偶性 例题7：判断下列函数的奇偶性：
1、f(x)?cos(sinx)； 2、f(x)?lgcosx 【解析】1、
f(x)的定义域为R，又f(?x)?cos(sin(?x))?cos(sinx)?f(x)，?f(x)为偶函数．
2、由lgcosx?0得cosx?1，又cosx?1 ?cosx?1，
故此函数的定义域为x?2k?(k?Z)，关于原点对称，此时f(x)?0，
?f(x)既是奇函数，又是偶函数．
【点评】判断函数的奇偶性，一般是利用相关公式以及诱导公式将三角函数式化简，进而判断对应函数的奇偶性，一般地，函数y?sin?x???0?是奇函数，函数y?cos?x???0?是偶函数． 变式5：
（1）函数
是（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．既奇且偶函数 D．非奇非偶函数 （2）函数
是（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．既奇且偶函数 D．非奇非偶函数
【解析】（1）D ；（2）A．
题型四、三角函数的性质（周期性、奇偶性、对称性与单调性） 例题8：已知函数f(x)?2sin(2x?（1）求函数的定义域； （2） 求函数的值域； （3） 求函数的周期；
（4）求函数的最值及相应的x值集合； （5）求函数的单调区间； （6）若x?[0,?4)，
3?]，求f(x)的取值范围； 4（7）求函数f(x)的对称轴与对称中心；
（8）若f(x??)为奇函数，??[0,2?)，求?；若f(x??)为偶函数，??[0,2?)，求?． 【解析】（1）函数的定义域R；
（2）函数的值域[?2，2]； （3）T??；
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（4）f(x)的最大值为2，此时x的取值集合为{x|x?3??k?,k?Z}， 8f(x)的最小值为-2，此时x的取值集合为{x|x??（5）f(x)的增区间[?（6）[?2，2]； （7）f(x)的对称轴为x?（8）当??当???8?k?,k?Z}；
?8?k?,3?3?7??k?]；f(x)的减区间[?k?,?k?]； 8883?k??k??,k?Z，对称中心(?,0),k?Z； 8282?8，或
5?9?13?，或，或，f(x??)为奇函数， 8887?11?15?3?，或，或，或，f(x??)为偶函数．
8888【点评】求复合型的三角函数的单调区间，一般先将三角函数式化为y?Asin??x????b或
y?Acos??x????b???0?的结构，在A?0，??0，利用复合函数的单调性将?x??放在正弦函数
或余弦函数的单调区间内（由三角函数的名称决定），再解出自变量x的取值范围作为对应函数的单调区间；
若对自变量x的取值有限制，可以先求出?x??的取值范围，再利用复合函数的基本性质与三角函数的图象确定所需的?x??的取值范围，并解出自变量x的范围作为对应函数的单调区间，求对称中心坐标或对称轴方程，对称中心的横坐标满足?x???k?，k?Z，即x?k????，对称中心的坐标为??k????,b?；???对称轴方程满足?x????2?k?，k?Z，即对称轴方程为x??2k?1???2?．
2?【方法与技巧总结】
1、三角函数作图中五点作图法最常用，要牢记五个关键点的选取特点；
2π
2、函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为；
|ω|
3、三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式； 4、函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：
π
（1）函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝xk(其中 ωxk＋φ＝kπ＋，k∈Z)成轴对称图形．
2（2）函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于点(xk,0)(其中ωxk＋φ＝kπ，k∈Z)成中心对称图形． 5、求三角函数值域(最值)的方法： （1）利用sin x、cos x的有界性；
（2）形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调
性写出函数的值域；
（3）换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．
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【训练题组A】
11．用A和B分别表示函数y?sinx?1的最大值和最小值,则A?B等于（ ）
3A.
224 B.? C.? D.?2 3332．下列函数,在[,??上是增函数的是（ ）
A.y?cos2x C.y?sin2x
B.y?cosx D.y?sinx
?23．下列区间中,函数y?3sin(x?A.[?C.[??)的递减区间是（ ） 6???2?,] B.[,] 22332?2?,] D.[??,0] 33 B.y?sinx
D.y?cos?4．下列函数中是奇函数,且最小正周期是π的函数是（ ）
A.y?tan2x C.y?sin??π??2x? ?2??3π??2x? ?2?5．若函数y?cos(?x?A.
??)(??0)的图象相邻两条对称轴间距离为,则?等于（ ）
23
C.2
D.4
1 2
B.12
6．y?sinx?sinx的值域是（ ）
A.[?2,0] B.[0,1] C.[?1,1] D.[?1,0] 7．下列叙述中正确的个数为（ ）
①y?tanx在R上是增函数
②y?sinx,x?[0,2??的图象关于点P(?,?)成中心对称图形 ③y?cosx,x?[0,2??的图象关于直线x??成轴对称图形
④正弦、余弦函数y?sinx、y?cosx的图象不超出两直线y??1、y?1所夹的范围. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8．已知函数f (x)=2sin?x(?>0)在区间[?A.
??,]上的最小值是－2，则?的最小值等于（ ） 3423 B. C.2 D.3 329/15
9．使函数y?sinx递减且函数y?cosx递增的区间是（ ）
A.(???,2?? B.(2k??,2k???k?Z? 22C.(2k?????,2k?????k?Z? D.(2k???,2k????k?Z? 2210．如果x?[0,2?],则函数y?sinx??cosx的定义域为（ ）
A.[0,?] B.[,??????] C.[,?? D.[,2?? 222211．已知函数y1?sinx、y2?tanx的最小正周期分别为T1、T2，则T1?T2? ． 12．若f(x)为奇函数，且x?0时，f(x)?x2?sinx，则x?0时，f(x)? ． 13．关于x的函数f(x)?sin(x??)有以下命题：
①对任意的?，f(x)都是非奇非偶函数； ②不存在?，使f(x)既是奇函数，又是偶函数； ③存在?，使f(x)是奇函数； ④对任意的?，f(x)都不是偶函数． 其中一个假命题的序号是 ，因为当?= 时，该命题的结论不成立． 14．求函数y?sin(
215．求函数y?cosx?sinx (|x|??3?2x),x?[??,?]的单调递减区间；
?4)的最大值和最小值．
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