函数的性质与图像（09-12年高考题）
1.[2012·陕西卷] 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) 1
A．y＝x＋1 B．y＝－x3 C．y＝ D．y＝x|x|
x
答案：D [解析] 本小题主要考查函数的单调性、奇偶性，解题的突破口为单调性的定义、奇偶性的定义与函数图像的对应关系．若函数为单调增函数，其图像为从左向右依次上升；若函数为奇函数，其图像关于原点对称．经分析，A选项函数的图像不关于原点对称，不是奇函数，排除；B选项函数的图像从左向右依次下降，为单调减函数，排除；C选项函数的图像从左向右依次下降，为单调减函数，排除；故选D.其实对于选项D，我们也可利用x>0、x＝0、x<0分类讨论其解析式，然后画出图像，经判断符合要求．
2.（湖南文8）已知函数f(x)?e?1,g(x)??x?4x?3,若有f(a)?g(b),则b的取值范围为
A．[2?2,2?2] B．(2?2,2?2) C．[1,3] D．(1,3) 【答案】B
x22f(x)?e?1??1g(x)??x?4x?3??(x?2)?1?1，若有【解析】由题可知，
x22f(a)?g(b),则g(b)?(?1,1]，即?b?4b?3??1，解得2?2?b?2?2。
y?3. (全国Ⅰ理12)函数
1x?1的图像与函数y?2sin?x(?2?x?4)的图像所有交点的横
坐标之和等于
（A）2 (B) 4 (C) 6 (D)8 【答案】D
4.（四川理16）函数f(x)的定义域为A，若x1,x2?A且f(x1)?f(x2)时总有x1?x2，则称f(x)为单函数．例如，函数f(x)=2x+1(x?R)是单函数．下列命题：
2①函数f(x)?x（x?R）是单函数；
②若f(x)为单函数，x1,x2?A且x1?x2，则f(x1)?f(x2)； ③若f：A→B为单函数，则对于任意b?B，它至多有一个原象； ④函数f(x)在某区间上具有单调性，则f(x)一定是单函数． 其中的真命题是_________．（写出所有真命题的编号） 【答案】②③
【解析】对于①，若f(x1)?f(x2)，则x1??x2，不满足；②实际上是单函数命题的逆否命题，故为真命题；对于③，若任意b?B，若有两个及以上的原象，也即当f(x1)?f(x2)时，
1
不一定有x1?x2，不满足题设，故该命题为真；根据定义，命题④不满足条件．
5.（2010湖南文）8.函数y=ax+ bx与y= logbx (ab ≠0，| a |≠| b |)在同一直角坐
||a2
标系中的图像可能是
答案 D
6.（2010浙江理）（10）设函数的集合
??11P??f(x)?log2(x?a)?ba??,0,,1;b??1,0,1?，
22??平面上点的集合
??11Q??(x,y)x??,0,,1;y??1,0,1?，
22??则在同一直角坐标系中，P中函数f(x)的图象恰好经过Q中两个点的函数的个数是 ．．（A）4 （B）6 （C）8 （D）10 答案 B
解析：当a=0,b=0;a=0,b=1;a=
11,b=0; a=,b=1;a=1,b=-1;a=1,b=1时满足题意，故答案222
选B，本题主要考察了函数的概念、定义域、值域、图像和对数函数的相关知识点，对数学素养有较高要求，体现了对能力的考察，属中档题
4x?17.（2010重庆理）(5) 函数f?x??的图象 x2A. 关于原点对称 B. 关于直线y=x对称 C. 关于x轴对称 D. 关于y轴对称 答案 D
4?x?11?4x解析：f(?x)???f(x) ?f(x)是偶函数，图像关于y轴对称
2?x2x8.（2010全国卷1理）（10）已知函数f(x)=|lgx|.若0
(A)(22,??) (B)[22,??) (C)(3,??) (D)[3,??)
8.（2010山东理）（4）设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2+2x+b(b为常数)，则f(-1)=
(A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3 【答案】D
x
10.（2010湖南理）8.用
表示a，b两数中的最小值。若函数
的图像关于直线x=?A．-2 B．2 C．-1 D．1
1对称，则t的值为 2 3
11.[2012·上海卷] 已知函数f(x)＝e|xa|(a为常数)．若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．
答案：(－∞，1] [解析] 考查复合函数的单调性，实为求参数a 的取值范围．
令t＝|x－a|，又e>1，函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数，只需函数t＝|x－a|在[1，＋∞)上是增函数，所以参数a的取值范围是(－∞，1]． 12.[2012·上海卷] 已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________. 答案：－1 [解析] 考查函数的奇偶性和转化思想，此题的关键是利用y＝f(x)＋x2为奇函数． 已知函数y＝f(x)＋x2为奇函数，则f(－1)＋(－1)2＝－[f(1)＋1]＝－2，解得f(－1)＝－3，所以g(－1)＝f(－1)＋2＝－3＋2＝－1.
－
13（2010全国卷1理）(15)直线y?1与曲线y?x?x?a有四个交点，则a的取值范围是 .
2
14.（2010江苏卷）5、设函数f(x)=x(e+ae)(x?R)是偶函数，则实数a=________________
x
-x
4
答案 a=－1
【解析】考查函数的奇偶性的知识。g(x)=e+ae为奇函数，由g(0)=0，得a=－1。 15.（2009全国卷Ⅰ理）函数f(x)的定义域为R，若f(x?则( ) 1)与f(x?1)都是奇函数，
x-x
A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数 C.f(x)?f(x?2) D.f(x?3)是奇函数 答案 D
解析 ?f(x?1)与f(x?1)都是奇函数，
?f(?x?1)??f(x?1),f(?x?1)??f(x?1)，
?函数f(x)关于点(1,0)，及点(?1,0)对称，函数f(x)是周期T?2[1?(?1)]?4的周
期函数.?f(?x?1?4)??f(x?1?4)，f(?x?3)??f(x?3)，即f(x?3)是奇函数。故选D
16.（2009浙江文）若函数f(x)?x?2a(a?R)，则下列结论正确的是（ ） xA.?a?R，f(x)在(0,??)上是增函数 B.?a?R，f(x)在(0,??)上是减函数 C.?a?R，f(x)是偶函数 D.?a?R，f(x)是奇函数 答案 C
【命题意图】此题主要考查了全称量词与存在量词的概念和基础知识，通过对量词的考查结合函数的性质进行了交汇设问．
解析 对于a?0时有f?x??x是一个偶函数
2ex?e?x17. (2009山东卷理)函数y?x的图像大致为 ?xe?ey
y 1O 1 x 1yy 1 O 1 x D
1 O1xO1 x A B 5 C