法二：Pn?(a1?a3???an?2?an)?(b2?b4???bn?1)n?1n?16(1?42)n22???2?n?2n?1……………11分 21?4?2n?1?n2?2,n为偶数……………13分 ?Pn??n2
?2?n?2n?1，n为奇数(4?4n)?
20．已知函数f(x)?
ln(ax)?ln(ax)?ln(x?1), (a?0,a?R) x?1（Ⅰ）求函数f(x)的定义域； （Ⅱ）求函数f(x)的单调区间；
（Ⅲ）当a?0时，若存在x使得f(x)?ln(2a)成立，求a的取值范围． （Ⅰ）当a?0时函数f(x)的定义域为(0,??)；
当a?0时函数f(x)的定义域为(?1,0) ………3分
x?1?ln(ax)11x??（Ⅱ）f?(x)? 2xx?1(x?1)(x?1)?xln(ax)?(x?1)2?x(x?1)?ln(ax)…………5分 ??x(x?1)2(x?1)21令f?(x)?0时，得lnax?0即x?，
a11①当a?0时，x?(0,)时f?(x)?0，当x?(,??)时，f?(x)?0，
aa11故当a?0 时，函数的递增区间为(0,)，递减区间为(,??)
aa②当?1?a?0时，?1?ax?0，所以f?(x)?0， 故当?1?a?0时，f(x)在x?(?1,0)上单调递增．
11③当a??1时，若x?(?1,)，f?(x)?0;若x?(,0)，f?(x)?0，
aa11故当a??1时，f(x)的单调递增区间为(,0);单调递减区间为(?1,)． ………10分
aa11（Ⅲ）因为当a?0时，函数的递增区间为(0,);单调递减区间为(,??)
aa1若存在x使得f(x)?ln(2a)成立，只须f()?ln(2a)，
a?a?0a?1a?1?)?ln2a??2a??1?0?a?1 ………14分 即ln(aa??a?1??2
21．如图，已知曲线C1是以原点O为中心、F1，F2分别为左，右焦点的椭圆的一部分，曲线C2是以O为顶点、F2为焦点的抛物线的一部分，A是曲线C1和C2的交点且?AF2F1为钝角，若AF1?（Ⅰ）求曲线C1和C2的方程；
75，AF2?． 22（Ⅱ）过F2作一条与x轴不垂直的直线，分别与曲线C1、C2依次交于B、C、D、E四点，若G为CD中 点，H为BE中点，问
BE?GF2CD?HF2是否为定值？若是求出定值，若不是说明理由
y该准线． 【答案】解：（1）过F1作垂直于x轴的直线x??c即抛物线的准线，作AH垂直于作AM?x轴于M，则有抛物线的定义得AF2?AH，
F1OF2x222 b?a?c?8(2a?AF1?AF2?75??6，得a?3）， 22 x2y2??1，抛物线C2方程为y2?4x． 因而椭圆C1方程为98（2）设B(x1,y1),E(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),把直线
x2y2y?k(x?1)代入??1得(8?9k2)y2?16ky?64k2?0,则98
16k64k22y1?y2??,yy??.同理将y?k(x?1)代入y?4x得：12228?9k8?9k4ky2?4y?4k?0,?y3?y4?,y3?y?4?4;k122BE?GF2y1?y22y3?y4（y3?y4）(y1?y2）???? ?221CD?HF2y3?y4（y?y）（y?y）1234y1?y2222（y3?y4）（y1?y2）?4y1y2=??22（y1?y2）（y3?y4）?4y3y4
(16k)24?64k24?()2222(8?9k)8?9kk??3为定值.242(16k)()?1622k(8?9k)
22．已知函数f(x)?lnx，g(x)?ex．
x?1，求函数?(x)的单调区间； x?1（1,+?）（Ⅱ）设直线l为函数f(x)的图象上一点A(x0,f(x0))处的切线．证明：在区间上存在唯一的x0，
使得直线l与曲线y?g(x)相切．
（Ⅰ）若函数?(x)?f?x??x?112x?1x?1?lnx?解析：（Ⅰ） ?(x)?f?x??，???x???． ?22x?1x?1x?x?1?x??x?1?2
，???． ∵x?0且x?1，∴???x??0，∴函数?(x)的单调递增区间为?0,1?和?1 （Ⅱ）∵f?(x)? 即y?111 ，∴f?(x0)?，∴ 切线l的方程为y?lnx0?(x?x0)， xx0x01x?lnx0?1， ① 设直线l与曲线y?g(x)相切于点(x1,ex1)， x0111x∵g?(x)?ex，∴e1?，∴x1??lnx0． ∴直线l的方程为y???x?lnx0?，
x0x0x0lnx01lnx011即y? 由①②得 lnx0?1?x??， ② ?，
x0x0x0x0x0∴lnx0?x0?1（1,+?）． 下证：在区间上x0存在且唯一：
x0?1由（Ⅰ）可知，?(x)?lnx?x?1（1,+?）在在区间上递增．
x?1e?1?2e2?1e2?322又?(e)?lne???0，?(e)?lne?2?2?0， 结合零点存在性定理，说明
e?1e?1e?1e?12?(x)?0必在区间(e,e)上有唯一的根，这个根就是所求的唯一x0．
故结论成立．