?0,???上,h?x?取得最大值h?1???2,.....................................................8分 h?x???2?0??a?R,?x?0?所以,
g?x?因此,无论a取任何实数,函数的图像恒在直线l?的下方.
即在
............... ...........................................9分
(III)因为
A?1,?a?,Q?x0,lnx0?ax0?kQA?,
所以
lnx0?ax0?alnx0??ax0?1x0?1,
lnx0?a?2x?1x?1所以当0时,0, lnx0??a?2??x0?1??0即令
恒成立. ............... ...........................................10分
,
r?x??lnx??a?2??x?1??x?1?r??x??1??a?2?x则,
10??1x因为x?1,所以.
(i)当a??2时,a?2?0,此时所以
r??x??0,
r?x?在
?1,???上单调递增,有r?x??r?1??0不满足题意;
(ii)当?2?a??1时,0?a?2?1,
1???1?x??1,x?,???r??x??0??r??x??0a?2a?2????时,所以当时,,当, 1??t??1,?a?2??,使得r?t??r?1??0不满足题意; 所以至少存在
(iii)当a??1时,a?2?1,此时所以
r??x??0,
r?x?在
?1,???上单调递减,r?x??r?1??0,满足题意.
综上可得a??1,
故所求实数a的取值范围是.
............... ...........................................13分
??1,???
顺义区2015届高三第一次统一练习
数学试卷答案(文科)
一、CBBD DCAD 二、 9.
1,y??31x2 10.2 11. ?2 112.?16,20 13.3?1 14.2
三、
15.解:(I)因为an?1?an?3,n?N*,
所以an?1?an?3,n?N*,
a所以数列?n?是以a1?1为首项,公差d?3的等差数列,
a?a1??n?1?d?1??n?1??3?3n?2所以n,
............... ...........................................4分
n?a1?an?n?1?3n?2?321Sn???n?n2222.
............... ...........................................6分 (II)由(I)可知an?3n?2,
8?a1?an?8?1?22?a2?4,S8???9222所以,
所以b4?a6?S8?16?92?108 ................ ...........................................9分
b设等比数列?n?的公比为q,
b108q3?4??27b41则, 所以q?3, ............... ...........................................11分
4?1?3n?nB??2?3?2nbn??n1?3所以数列的前项和.
............... ...........................................12分
6cosA?3, 16.解:(I)在?ABC中,因为
所以
sinA?1?cos2A?1?(623)?33. ...........................................3分
.
............... ...........................................6分
ab?由正弦定理,sinAsinB得
a?bsinA?sinB32?6333?3(II)因为B为钝角,
63cosB??1?sin2B??1?()2??33. ...........................................8分 所以，
36sinA?sinB?cosA?3, 又3 由(I)可知,
cosC?cos?????A?B?????cos?A?B? ...........................................10分 所以
??cosAcosB?sinAsinB6?3?36?????????3?3?3?322.3
............... ...........................................13分
?
17.(I)证明:因为D,E分别为AC,AB上的点,且DE//BC,
又因为DE?平面A?BC,
所以DE//平面A?BC. ............... ...........................................3分 (II)证明:因为?C?90,DE//BC,
所以DE?CD,DE?AD,
由题意可知,DE?A?D, ............... ...........................................4分 又A?D?CD?D,
所以DE?平面A?CD, ............... ...........................................5分 所以BC?平面A?CD, ............... ...........................................6分 所以BC?A?C, ............... ...........................................7分 又A?C?CD,且CD?BC?C,
所以A?C?平面BCDE, ............... ...........................................8分 又BE?平面BCDE,
所以A?C?BE. ............... ...........................................9分
(III)解:线段A?D上存在点F,使平面CFE?平面A?DE.
理由如下:
因为A?C?CD,
A'FDCEB所以,在Rt?A?CD中,过点C作CF?A?D于F, 由(II)可知,DE?平面A?CD,又CF?平面A?CD 所以DE?CF, 又A?D?DE?D,
所以CF?平面A?DE,... ...........................................12分 因为CF?平面CEF,
所以平面CFE?平面A?DE,
故线段A?D上存在点F,使平面CFE?平面A?DE. ................................13分 如图（1），因为DEPBC ,
DEAD2AD??6 , 所以，BCAC ，即3所以，AD?4,CD?2 .
所以，如图（2），在Rt?ACD 中, A'D?4,CD?2
'0所以，?ADC?60 ,
在Rt?CFD 中,DF?1 ............... ...........................................14分
'18.解:(I)由频率分布表得0.1?a?b?0.2?0.1?0.1?1,
即a?b?0.5.
因为所抽调的50名市民中,收入(单位:百元)在?35,45?的有15名,
15?0.3, 所以b?50所以a?0.2,c?0.2?50?10, 所以a?0.2,b?0.3,c?10, 且频率分布直方图如下:
频率组距0.030.020.0115253545556575收入(百元) ............... ...........................................4分
(II)设收入(单位:百元)在?55,65?的被调查者中赞成的分别是A1,A2,A3,不赞成的
分别是B1,B2,
事件M:选中的2人中至少有1人不赞成“楼市限购令”,
则从收入(单位:百元)在?55,65?的被调查者中,任选2名的基本事件共有10个:
?A1,A2?,?A1,A3?,?A1,B1?,?A1,B2?,
?A2,A3?,?A2,B1?,?A2,B2?,?A3,B1?,?A3,B2?,
?B1,B2?, ............... ...........................................10分
事件M包含的结果是?A?,?A2,B1?,?A2,B2?,?A3,B1?,?A3,B2?, 1,B1?,?A1,B2?B1,B2?共7个, ............... ...........................................11分
7, ............... ...........................................12分 107故所求概率为. ............... ...........................................13分
10所以P?M??
x2y2?1, 19.解:(I)由题意,椭圆C的标准方程为?164所以a2?16,b2?4,从而c2?a2?b2?12, 因此a?4,c?23, 故椭圆C的离心率e?c3. ............... ...........................................4分 ?a2?y?kx?1,221?4kx?8kx?12?0, (II)由?2得??2?x?4y?16由题意可知??0. ............... ...........................................5分 设点E,F的坐标分别为?x1,y1?,?x2,y2?,EF的中点M的坐标为?xM,yM?, 则
x?xy1?y24k1xM?12??y??,................ .....................................7分 M2221?4k21?4k因为?BEF是以EF为底边,B为顶点的等腰三角形, 所以BM?EF,
1因此BM的斜率kBM??. ............... ...........................................8分
k又点B的坐标为?0,?2?,