第三节 电磁感应中的电路和图象问题
一、电磁感应中的电路问题 1．内电路和外电路
(1)切割磁感线运动的导体或磁通量发生变化的线圈都相当于电源．
(2)该部分导体的电阻或线圈的电阻相当于电源的内阻，其余部分是外电阻． 2．电源电动势和路端电压
ΔΦ
(1)电动势：E＝Blv或E＝n.
ΔtE
(2)路端电压：U＝IR＝·R.
R＋r
1.(单选)如图所示，一个半径为L的半圆形硬导体AB以速度v在水平U形
框架上向右匀速滑动，匀强磁场的磁感应强度为B，回路电阻为R0，半圆形硬导体AB的电阻为r，其余电阻不计，则半圆形导体AB切割磁感线产生的感应电动势大小及AB之间的电势差分别为( )
BLvR0
B．2BLv BLv R0＋r2BLvR0
C．2BLv D．BLv 2BLv
R0＋r
答案：C
二、电磁感应中的图象问题 1．图象类型
(1)随时间t变化的图象如B－t图象、Φ－t图象、E－t图象和i－t图象． (2)随位移x变化的图象如E－x图象和i－x图象． 2．问题类型
(1)由给定的电磁感应过程判断或画出正确的图象．
(2)由给定的有关图象分析电磁感应过程，求解相应的物理量． (3)利用给出的图象判断或画出新的图象． A．BLv
2.(单选)(2015·泉州模拟)如图甲所示，光滑导轨水平放置在与水平方向夹角
为60°的斜向下的匀强磁场中，匀强磁场的磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示(规定斜向下为正方向)，导体棒ab垂直导轨放置，除电阻R的阻值外，其余电阻不计，导体棒ab在水平外力F作用下始终处于静止状态．规定a→b的方向为电流的正方向，水平向右的方向为外力F的正方向，则在0～t1时间内，选项图中能正确反映流过导体棒ab的电流i和导体棒ab所受水平外力F随时间t变化的图象是( )
答案：D
考点一 电磁感应中的电路问题
1．对电源的理解：在电磁感应现象中，产生感应电动势的那部分导体就是电源，如切割磁感线的导体棒、有磁通量变化的线圈等．这种电源将其他形式的能转化为电能．
2．对电路的理解：内电路是切割磁感线的导体或磁通量发生变化的线圈，外电路由电阻、电容等电学元件组成．
3．解决电磁感应中电路问题的一般思路：
ΔΦ
(1)确定等效电源，利用E＝n或E＝Blvsin θ求感应电动势的大小，利用右手定则或
Δt
楞次定律判断电流方向．
(2)分析电路结构(内、外电路及外电路的串、并联关系)，画出等效电路图．
(3)利用电路规律求解．主要应用欧姆定律及串、并联电路的基本性质等列方程求解．
(2015·石家庄质检)如图甲所示，两根足够长的平行光滑金属导轨MN、PQ被
固定在水平面上，导轨间距l＝0.6 m，两导轨的左端用导线连接电阻R1及理想电压表V，电阻为r＝2 Ω的金属棒垂直于导轨静止在AB处；右端用导线连接电阻R2，已知R1＝2 Ω，R2＝1 Ω，导轨及导线电阻均不计．在矩形区域CDFE内有竖直向上的磁场，CE＝0.2 m，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示．开始时电压表有示数，当电压表示数变为零后，对金属棒施加一水平向右的恒力F，使金属棒刚进入磁场区域时电压表的示数又变为原来的值，金属棒在磁场区域内运动的过程中电压表的示数始终保持不变．求：
(1)t＝0.1 s时电压表的示数； (2)恒力F的大小；
(3)从t＝0时刻到金属棒运动出磁场的过程中整个电路产生的热量． 动势吗？
(2)电压表示数始终保持不变，说明金属棒做什么运动？
[思路点拨] (1)在0～0.2 s内，R1、R2和金属棒是如何连接的？电压表示数等于感应电
ΔΦΔB
[解析] (1)设磁场宽度为d＝CE，在0～0.2 s的时间内，有E＝＝ld＝0.6 V
ΔtΔt此时，R1与金属棒并联后再与R2串联 R＝R并＋R2＝1 Ω＋1 Ω＝2 Ω
E
U＝R并＝0.3 V.
R
(2)金属棒进入磁场后，R1与R2并联后再与r串联，有
UU
I′＝＋＝0.45 A
R1R2FA＝BI′l
FA＝1.00×0.45×0.6 N＝0.27 N
由于金属棒进入磁场后电压表的示数始终不变，所以金属棒做匀速运动，有 F＝FA
F＝0.27 N.
(3)在0～0.2 s的时间内有
E2
Q＝t＝0.036 J
R金属棒进入磁场后，有
R1R28
R′＝＋r＝ Ω
3R1＋R2E′＝I′R′＝1.2 V E′＝Blv，v＝2 m/s
d0.2
t′＝v＝ s＝0.1 s
2Q′＝E′I′t′＝0.054 J
Q总＝Q＋Q′＝0.036 J＋0.054 J＝0.09 J. [答案] (1)0.3 V (2)0.27 N (3)0.09 J
[总结提升] (1)对等效于电源的导体或线圈，两端的电压一般不等于感应电动势，只有在其电阻不计时才相等．
(2)沿等效电源中感应电流的方向，电势逐渐升高．
1.(多选)如图所示，在一磁感应强度B＝0.5 T的匀强磁
场中，垂直于磁场方向水平放置着两根相距h＝0.1 m的平行光滑金属导轨MN和PQ，导轨电阻忽略不计，在两根导轨的端点N、Q之间连接一阻值R＝0.3 Ω的电阻．导轨上跨放着一根长为L＝0.2 m、电阻λ＝2.0 Ω/m的金属棒ab，与导轨正交放置，交点为c、d.当金属棒ab在水平拉力作用下以速度v＝4.0 m/s向左做匀速运动时，下列说法正确的是( )
A．金属棒ab两端点间的电势差为0.2 V B．金属棒ab两端点间的电势差为0.32 V C．水平拉金属棒ab的力大小为0.02 N D．回路中的发热功率为0.06 W
解析：选BC.当金属棒ab在水平拉力作用下向左做匀速运动切割磁感线时，cd间产生的感应电动势Ecd＝Bhv＝0.5×0.1×4.0 V＝0.2 V，由闭合电路欧姆定律可得，回路中产生的
Ecd0.2
感应电流I＝＝ A＝0.4 A，金属棒ab受到的安培力F安＝BIh＝
R＋hλ0.3＋0.1×2.00.5×0.4×0.1 N＝0.02 N，要使金属棒ab匀速运动，应有F＝F安＝0.02 N，C正确；该回路为纯电阻电路，则电路中的热功率P热＝I2(R＋hλ)＝0.08 W，D错误；金属棒ab两端点间的电势差等于Uac、Ucd与Udb三者之和，由于Ucd＝Ecd－Ircd，所以Uab＝Eab－Ircd＝BLv－Ihλ＝0.32 V，A错误，B正确．
考点二 电磁感应中的图象问题
1．题型特点
一般可把图象问题分为三类：
(1)由给定的电磁感应过程选出或画出正确的图象；
(2)由给定的有关图象分析电磁感应过程，求解相应的物理量； (3)根据图象定量计算． 2．解题关键
弄清初始条件，正负方向的对应，变化范围，所研究物理量的函数表达式，进、出磁场
的转折点是解决问题的关键．
3．解决图象问题的一般步骤
(1)明确图象的种类，即是B－t图象还是Φ－t图象，或者是E－t图象、I－t图象等； (2)分析电磁感应的具体过程；
(3)用右手定则或楞次定律确定方向对应关系；
(4)结合法拉第电磁感应定律、欧姆定律、牛顿运动定律等规律写出函数关系式； (5)根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等； (6)画出图象或判断图象．
(多选)(2015·江西新余模拟)如图所示，在坐标系xOy中，
有边长为L的正方形金属线框abcd，其一条对角线ac和y轴重合、顶点a位于坐标原点O处．在y轴的右侧，在Ⅰ、Ⅳ象限内有一垂直纸面向里的匀强磁场，磁场的上边界与线框的ab边刚好完全重合，左边界与y轴重合，右边界与y轴平行．t＝0时刻，线框以恒定的速度v沿垂直于磁场上边界的方向穿过磁场区域．取沿a→b→c→d→a方向的感应电流为正，则在线框穿过磁场区域的过程中，感应电流i、ab间的电势差Uab随时间t变化的图线是下图中的( )
LL2L
[审题点睛] 观察i(Uab)－t图象特点：①分t＝0→t＝v和t＝v→t＝v两段处理；②i(Uab)
L
的正负问题：判断在t＝v时电流方向是否改变；③两段中的i(Uab)的最大值是否相等．
[解析] 在d点运动到O点过程中，ab边切割磁感线，根据右手定则可以确定线框中电流方向为逆时针方向，即正方向，电动势均匀减小到0，则电流均匀减小到0；然后cd边开始切割磁感线，感应电流的方向为顺时针方向，即负方向，电动势均匀减小到0，则电流均匀减小到0，故A正确，B错误．d点运动到O点过程中，ab边切割磁感线，ab相当于电源，电流由a到b，b点的电势高于a点，ab间的电势差Uab为负值，大小等于电流乘bcda三条边的电阻，并逐渐减小．ab边出磁场后，cd边开始切割，cd边相当于电源，电流由b到a，ab间的电势差Uab为负值，大小等于电流乘ab边的电阻，并逐渐减小，故C错误，D正确．故选AD.
[答案] AD
[总结提升] 解决图象类选择题的最简方法——分类排除法．首先对题中给出的四个图象根据大小或方向变化特点分类，然后定性地分析电磁感应过程中物理量的变化趋势(增大还是减小)、变化快慢(均匀变化还是非均匀变化)，特别是用物理量的方向，排除错误选项，此法最简捷、最有效．
2.(单选)(2015·云南第一次检测)如图甲所示，线圈ABCD固定于匀强磁场
中，磁场方向垂直纸面向外，当磁场变化时，线圈AB边所受安培力向右且变化规律如图乙
所示，则磁场的变化情况可能是选项中的( )
解析：选D.由安培力向右知电流方向为顺时针，由楞次定律知磁场增强，C错．由乙图知安培力不变，根据F＝BIL知，B增大，I必减小，即电动势减小，故B的变化率减小，因此A、B错，D正确．
真题剖析——电磁感应电路与图象的综合问题
(18分)(2013·高考广东卷)如图甲所示，在垂直于匀强磁场B的平面内，半径
为r的金属圆盘绕过圆心O的轴转动，圆心O和边缘K通过电刷与一个电路连接．电路中的P是加上一定正向电压才能导通的电子元件．流过电流表的电流I与圆盘角速度ω的关系如图乙所示，其中ab段和bc段均为直线，且ab段过坐标原点．ω>0代表圆盘逆时针转动．已知：R＝3.0 Ω，B＝1.0 T，r＝0.2 m．忽略圆盘、电流表和导线的电阻．
(1)根据图乙写出ab、bc段对应的I与ω的关系式； (2)求出图乙中b、c两点对应的P两端的电压Ub、Uc；
(3)分别求出ab、bc段流过P的电流IP与其两端电压UP的关系式． [审题点睛] (1)审电路
(2)审图象