21、（8分） A y/km 60?C O 45?x/km B 图11
22、（9分）
23、（9分）
24、（14分）
A D B E C 图12（1）
A D′ E′ M B C 图12（2）
y C P x O D B Q A 图13
嘉积中学2012年五科联赛数学科参考答案及评分标准
一、选择题（本题满分33分，每小题3分）
CBDB ACCB DAD
二、填空题（本题满分21分，每小题3分）
12、4 13、－2≤x≤1 14、7 15、127 16、24 17、三、解答题（本题满分56分）
19、（1）解：原式?23?2?3?2 ??7 18、(??23)
323 ?4分
（2）解：去分母得 x2?3x??2x?1??x?1??0 ?5分
整理得3x?2x?1?0 解这个方程得x1?? 经检验知，x1??21 ，x2?1 ?7分 31是原方程的根，x2?1不是原方程的根. 31 ∴ 原方程的根是x?? ?8分
320、解：设A市投资“改水工程”的年平均增长率为x，则
700?1?x??1372 ?5分
2 解之 得x1?0.4?40﹪ ， x2??2.4（不合题意，舍去）?7分
答：A市投资“改水工程”的年平均增长率为40﹪. ?8分
21、解：（1）1003,?1003，1003,200?1003?4分 （2）过点C作CD⊥OA于点D，如图所示，
则在Rt△ACD中，?ACD?30，CD?1003，
?????A D O y60? C ∴ ∵
CD3?cos30??，∴CA=200. ?6分 CA2200?20?6， ∴5+6=11， 3045? xB
∴台风从生成到最初侵袭该城要经过11h . ?8分
22、解：（1）设买x只，由题意得
20－0.1×（x－10）≤16 ?2分 解得 x≥50 .
∴至少买50只，才能以最低价购买. ?3分 （2）由题意得
当10 ＜x≤50时，y??20?0.1??x?10??12??x??0.1x?9x ?5分
2
当x＞50时，y??16?12??x?4x . ?6分 （3）由y??0.1x2?9x得y??0.1?x?45??202.5 ?7分
2 ∴当10＜x≤45时，y随x的增大而增大；
当45＜x≤50时，y随x的增大而减少. ?8分
∴要使多卖多赚，当x＞45时，价格不能低于20?0.1??45?10??16.5（元）. 故最低价格16元/只至少要提高到16.5元/只. ?9分 23、解：（1）如图1，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B =∠ACB = 45°. ∵DE∥AB，∴∠DEC=∠ACB = 45°，∠EDC=90°， ∴DE=CD=22，∴CE=CE?= 4. ?1分
如图2，在Rt△ACE?中，?E?AC= 90°，AC=23，CE?= 4，?2分 ∴cos?ACE??3?，∴?ACE??30. ?4分 2 ?? （2）如图2，∵?D?CE???ACB?45,?ACE??30，
E′ A M D′ ∴?D?CA??E?CB?15. 又
?CD?AC2， ???CEBC2B 图12（2） C
∴?D?CA ∽?E?CB. ?6分
?∴?D?AC??B?45. ∴?ACB??D?AC，∴AD?∥BC.?8分
∵?B?45,?D?CB?60,∴?B与?D?CB不互补，∴AB与D?C不平行.
??∴四边形ABCD?是梯形. ?9分 24、解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∠AOC= 60°，∴∠AOB=30°. ?1分
1OB?43，AM⊥OB. 2y ?∴AM?OM?tan30?4.∴OA?2AM?8. ?2分
如图，连接AC交OB于M，∴OM?（2）由（1）可知A43,?4，B83,0 . ?3分 D O Q M A 设经过A、B、O三点的抛物线为y?ax?bx.
2????C P B x
1?a???12?48a?43b??4?∴? ∴? ?4分
23??b???192a?83b?0?3?
∴经过A、B、O三点的抛物线为y?1223x?x . ?5分 123（3）当a?3时，CP?t，OQ?3t，OD?33，D33,0. ∴PB?8?t，BD?83?33?53 .
??由△OQD ∽△BPD得
4PBBD8?t53 ，即. ∴t?. ?6分 ??3OQOD3t33当t?4时，OQ?4，同理可求Q23,?2. ?7分 3???23?23k?b??2??k?设直线PQ的解析式为y?kx?b，则 ? ∴?3?8分
??b??6?33k?b?0?∴直线PQ的解析式为y?23x?6 ?9分 3（4） 当a?1时，△ODQ∽△OBA；当1＜a＜3时，以O、Q、D为顶点的三角形与 △OAB不能相似；当a?3时，△ODQ∽△OAB. ?10分 证明如下：
① 若△ODQ∽△OBA，可得∠ODQ=∠OBA，此时PQ∥AB， 故四边形PCOQ为平行四边形，∴CP=OQ 即at?t（0＜t≤8）.
∴a?1.故当a?1时，△ODQ∽△OBA. ?11分 ②若△ODQ∽△OAB，
（Ⅰ）如果P点不与B点重合，此时必有△PBD∽△QOD. ∴
PBBDPB?OQOB8?t?at8383at?? ∴ 即 ∴OD? ?OQODOQODatOD8?t?at y C D O Q M A B x P ODOQ?∵△ODQ∽△OAB，∴， OAOB∴a?1?83atat即8?t?at?
88316. ∵0＜t≤8，∴此时a＞3，不符合题意. t∴当1＜a＜3时，以O、Q、D为顶点的三角形与△OAB不能相似. ?13分 （Ⅱ）当P与B重合时，此时D点也与B点重合. 可知此时，t?8，由△ODQ∽△OAB得∴OB2
ODOQ?. OAOB?OA?OQ，即?83?2?8?8a ，∴a?3，符合题意.
故当a?3时，△ODQ∽△OAB ?14分